Theorem lsmsatcv 33315

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 27895 analog.) Explicit atom version of lsmcv 18962. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsatcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsatcv.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmsatcv.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsmsatcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmsatcv.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmsatcv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmsatcv.x	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsmsatcv	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsmsatcv

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsatcv.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lsmsatcv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
3		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		lsmsatcv.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
6	3, 4, 5	islsati 33299	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
7	1, 2, 6	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
8		lsmsatcv.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9		lsmsatcv.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LVec)
11		lsmsatcv.t	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
13		lsmsatcv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
15		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
16	3, 8, 4, 9, 10, 12, 14, 15	lsmcv 18962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
17	16	3expib 1260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
18	17	3adant3 1074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
19		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑇 ⊕ 𝑄) = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
20	19	sseq2d 3596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
21	20	anbi2d 736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ (𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
22	19	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))))
23	21, 22	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
24	23	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)) ↔ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))))
25	18, 24	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)))
26	25	rexlimdv3a 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (Base‘𝑊)𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))))
27	7, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄)))
28	27	3impib 1254	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑄)) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LSSumclsm 17872  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281

This theorem is referenced by:  dochsat  35690