Theorem lnophmi 28261

Description: A linear operator is Hermitian if 𝑥 ·_ih (𝑇‘𝑥) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnophm.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnophm.2	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lnophmi	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnophm.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 28212	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)))
4		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
5	4	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧))
6	3, 5	eqeq12d 2625	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧)))
7		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ)))
8	7	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))))
9		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ)))
10	8, 9	eqeq12d 2625	. . . 4 ⊢ (𝑧 = if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) → ((if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih 𝑧) ↔ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))))
11		ifhvhv0 27263	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
12		ifhvhv0 27263	. . . . 5 ⊢ if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ) ∈ ℋ
13		lnophm.2	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ
14	11, 12, 1, 13	lnophmlem2 28260	. . . 4 ⊢ (if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ·ih (𝑇‘if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))) = ((𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)) ·ih if(𝑧 ∈ ℋ, 𝑧, 0ℎ))
15	6, 10, 14	dedth2h 4090	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧))
16	15	rgen2a 2960	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧)
17		elhmop 28116	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑦 ·ih (𝑇‘𝑧)) = ((𝑇‘𝑦) ·ih 𝑧)))
18	2, 16, 17	mpbir2an 957	1 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ifcif 4036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   ℋchil 27160   ·_ih csp 27163  0_ℎc0v 27165  LinOpclo 27188  HrmOpcho 27191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-hvsub 27212  df-lnop 28084  df-hmop 28087

This theorem is referenced by:  lnophm  28262