Theorem lidldomn1 41711

Description: If a (left) ideal (which is not the zero ideal) of a domain has a multiplicative identity element, the identity element is the identity of the domain. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldomn1.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidldomn1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lidldomn1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
lidldomn1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidldomn1	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   1 (𝑥)   𝐿(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lidldomn1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 19117	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simp2l 1080	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐿)
4		simp2r 1081	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
5		lidldomn1.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6		lidldomn1.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	5, 6	lidlnz 19049	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 )
9		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼 · 𝑦))
10		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼 · 𝑦) = 𝑦))
12		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐼) = (𝑦 · 𝐼))
13	12, 10	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
14	11, 13	anbi12d 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦)))
15	14	rspcva 3280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦))
16	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
17		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17, 5	lidlss 19031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
21	20	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
24	23	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
25		lidldomn1.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘𝑅)
26		lidldomn1.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	17, 25, 26	ringlidm 18394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
28	16, 24, 27	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) = 𝑦)
29		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ( 1 · 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
30	29	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( 1 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
32		ringgrp 18375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
34	33	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
36	19	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅)))
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) → (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))))
38	37	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑅))
40	17, 25	ringcl 18384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
41	16, 39, 24, 40	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42	17, 26	ringidcl 18391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 1 ∈ (Base‘𝑅))
44	43	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
46	17, 25	ringcl 18384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
47	16, 45, 24, 46	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
48		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
49	17, 6, 48	grpsubeq0 17324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 · 𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
50	35, 41, 47, 49	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ↔ (𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦)))
51	17, 25, 48, 16, 39, 45, 24	rngsubdir 18423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)))
52	51	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 ))
53		simpl1 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ Domn)
54	34, 38, 44	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
56	17, 48	grpsubcl 17318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅))
58	17, 25, 6	domneq0 19118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐼(-g‘𝑅) 1 ) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
59	53, 57, 24, 58	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 ↔ ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 )))
60	17, 6, 48	grpsubeq0 17324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ↔ 𝐼 = 1 ))
62	61	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 → 𝐼 = 1 ))
63		eqneqall 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≠ 0 → 𝐼 = 1 ))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ≠ 0 → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑦 = 0 → 𝐼 = 1 ))
67	62, 66	jaod 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) = 0 ∨ 𝑦 = 0 ) → 𝐼 = 1 ))
68	59, 67	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼(-g‘𝑅) 1 ) · 𝑦) = 0 → 𝐼 = 1 ))
69	52, 68	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (((𝐼 · 𝑦)(-g‘𝑅)( 1 · 𝑦)) = 0 → 𝐼 = 1 ))
70	50, 69	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = ( 1 · 𝑦) → 𝐼 = 1 ))
72	31, 71	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) ∧ ( 1 · 𝑦) = 𝑦) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
73	28, 72	mpdan 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 ))
74	73	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → 𝐼 = 1 )))
75	74	com13 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ≠ 0 ) → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))
76	75	expd 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝐼) = 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
78	15, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
79	78	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 )))))
80	79	pm2.43b 53	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 1 ))))
81	80	com14 94	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ 𝑈 → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))))
82	81	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
83	82	rexlimdva 3013	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑦 ≠ 0 → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 )))
84	8, 83	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ≠ { 0 }) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) → 𝐼 = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -_gcsg 17247  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  LIdealclidl 18991  Domncdomn 19101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-nzr 19079  df-domn 19105

This theorem is referenced by:  uzlidlring  41719