Theorem lfladdass 33378

Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lfladdass.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdass	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 + 𝐻) ∘𝑓 + 𝐼) = (𝐺 ∘𝑓 + (𝐻 ∘𝑓 + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6113	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
3		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	lflf 33368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10	3, 4, 9	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
11		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	5, 6, 7, 8	lflf 33368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13	3, 11, 12	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
14		lfladdass.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)
15	5, 6, 7, 8	lflf 33368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
16	3, 14, 15	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
17	5	lmodring 18694	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
18		ringgrp 18375	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
19	3, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
20		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
21	6, 20	grpass 17254	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
22	19, 21	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
23	2, 10, 13, 16, 22	caofass 6829	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 + 𝐻) ∘𝑓 + 𝐼) = (𝐺 ∘𝑓 + (𝐻 ∘𝑓 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-map 7746  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  33450