Theorem lagsubg2 17478

Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lagsubg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
lagsubg.2	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
lagsubg.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lagsubg.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
lagsubg2	⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))

Proof of Theorem lagsubg2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lagsubg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lagsubg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		lagsubg.2	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
4	2, 3	eqger 17467	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑋)
6		lagsubg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	5, 6	qshash 14398	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑥))
8	2, 3	eqgen 17470	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
9	1, 8	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
10	2	subgss 17418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12		ssfi 8065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
13	6, 11, 12	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ∈ Fin)
15	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑋 ∈ Fin)
16	5	qsss 7695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋)
17	16	sselda 3568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
18	17	elpwid 4118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
19		ssfi 8065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) → 𝑥 ∈ Fin)
20	15, 18, 19	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ Fin)
21		hashen 12997	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((#‘𝑌) = (#‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
22	14, 20, 21	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → ((#‘𝑌) = (#‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
23	9, 22	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → (#‘𝑌) = (#‘𝑥))
24	23	sumeq2dv 14281	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑌) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑥))
25		pwfi 8144	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
26	6, 25	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27		ssfi 8065	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
28	26, 16, 27	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
29		hashcl 13009	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Fin → (#‘𝑌) ∈ ℕ0)
30	13, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑌) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 11230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑌) ∈ ℂ)
32		fsumconst 14364	. . 3 ⊢ (((𝑋 / ∼ ) ∈ Fin ∧ (#‘𝑌) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑌) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))
33	28, 31, 32	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(#‘𝑌) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))
34	7, 24, 33	3eqtr2d 2650	1 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / ∼ )) · (#‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626   / cqs 7628   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  ℂcc 9813   · cmul 9820  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979  Σcsu 14264  Basecbs 15695  SubGrpcsubg 17411   ~_QG cqg 17413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-eqg 17416

This theorem is referenced by:  lagsubg  17479  orbsta2  17570  sylow2blem3  17860  sylow3lem3  17867  sylow3lem4  17868