MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixi 10535
Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 10148 . 2 -1 = (0 − 1)
2 ax-i2m1 9883 . . 3 ((i · i) + 1) = 0
3 0cn 9911 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 ax-1cn 9873 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 ax-icn 9874 . . . . 5 i ∈ ℂ
65, 5mulcli 9924 . . . 4 (i · i) ∈ ℂ
73, 4, 6subadd2i 10248 . . 3 ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
82, 7mpbir 220 . 2 (0 − 1) = (i · i)
91, 8eqtr2i 2633 1 (i · i) = -1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  -cneg 10146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148
This theorem is referenced by:  recextlem1  10536  inelr  10887  cju  10893  irec  12826  i2  12827  crre  13702  remim  13705  remullem  13716  sqrtneglem  13855  absi  13874  sinhval  14723  coshval  14724  cosadd  14734  absefib  14767  efieq1re  14768  demoivreALT  14770  ncvspi  22764  cphipval2  22848  itgmulc2  23406  tanarg  24169  atandm2  24404  efiasin  24415  asinsinlem  24418  asinsin  24419  asin1  24421  efiatan  24439  atanlogsublem  24442  efiatan2  24444  2efiatan  24445  tanatan  24446  atantan  24450  atans2  24458  dvatan  24462  log2cnv  24471  nvpi  26906  ipasslem10  27078  polid2i  27398  lnophmlem2  28260  iexpire  30874  itgmulc2nc  32648  dvasin  32666
  Copyright terms: Public domain W3C validator