MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2itg1 23309
Description: The integral of a nonnegative simple function using 2 is the same as its value under 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫2𝐹) = (∫1𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1le 23286 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐹) → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))
213expia 1259 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
32ancoms 468 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
43ralrimiva 2949 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
54adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
6 i1ff 23249 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 xrge0f 23304 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
86, 7sylan 487 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
9 itg1cl 23258 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
1110rexrd 9968 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫1𝐹) ∈ ℝ*)
12 itg2leub 23307 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))))
138, 11, 12syl2anc 691 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))))
145, 13mpbird 246 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹))
15 simpl 472 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
16 reex 9906 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1716a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
18 leid 10012 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥𝑥)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥𝑥)
2017, 6, 19caofref 6821 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐹)
2120adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹𝑟𝐹)
22 itg2ub 23306 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1𝐹𝑟𝐹) → (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))
238, 15, 21, 22syl3anc 1318 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))
24 itg2cl 23305 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
258, 24syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
26 xrletri3 11861 . . 3 (((∫2𝐹) ∈ ℝ* ∧ (∫1𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) = (∫1𝐹) ↔ ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ∧ (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))))
2725, 11, 26syl2anc 691 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ((∫2𝐹) = (∫1𝐹) ↔ ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ∧ (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))))
2814, 23, 27mpbir2and 959 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫2𝐹) = (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑟 cofr 6794  cr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952  cle 9954  [,]cicc 12049  1citg1 23190  2citg2 23191  0𝑝c0p 23242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243
This theorem is referenced by:  itg20  23310  itg2const  23313  itg2i1fseq  23328  i1fibl  23380  itgitg1  23381  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662
  Copyright terms: Public domain W3C validator