MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isowe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isowe 6499
Description: An isomorphism preserves well-ordering. Proposition 6.32(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isowe (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴𝑆 We 𝐵))

Proof of Theorem isowe
StepHypRef Expression
1 isofr 6492 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
2 isoso 6498 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵))
31, 2anbi12d 743 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴) ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵)))
4 df-we 4999 . 2 (𝑅 We 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Or 𝐴))
5 df-we 4999 . 2 (𝑆 We 𝐵 ↔ (𝑆 Fr 𝐵𝑆 Or 𝐵))
63, 4, 53bitr4g 302 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 We 𝐴𝑆 We 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   Or wor 4958   Fr wfr 4994   We wwe 4996   Isom wiso 5805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813
This theorem is referenced by:  f1owe  6503  hartogslem1  8330  oemapwe  8474  om2uzoi  12616
  Copyright terms: Public domain W3C validator