Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrcd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismrcd1 36279
Description: Any function from the subsets of a set to itself, which is extensive (satisfies mrcssid 16100), isotone (satisfies mrcss 16099), and idempotent (satisfies mrcidm 16102) has a collection of fixed points which is a Moore collection, and itself is the closure operator for that collection. This can be taken as an alternate definition for the closure operators. This is the first half, ismrcd2 36280 is the second. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrcd.b (𝜑𝐵𝑉)
ismrcd.f (𝜑𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
ismrcd.e ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
ismrcd.m ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
ismrcd.i ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
ismrcd1 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Moore‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem ismrcd1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3795 . . . 4 (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝐹
2 dmss 5245 . . . 4 ((𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ dom 𝐹)
31, 2ax-mp 5 . . 3 dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ dom 𝐹
4 ismrcd.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
5 fdm 5964 . . . 4 (𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 → dom 𝐹 = 𝒫 𝐵)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝒫 𝐵)
73, 6syl5sseq 3616 . 2 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝒫 𝐵)
8 ssid 3587 . . . . . . 7 𝐵𝐵
9 ismrcd.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
10 elpwg 4116 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵𝐵𝐵))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐵𝐵𝐵))
128, 11mpbiri 247 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
134, 12ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝒫 𝐵)
1413elpwid 4118 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)
15 selpw 4115 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
16 ismrcd.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
1715, 16sylan2b 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
1817ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
19 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
20 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2119, 20sseq12d 3597 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐹𝐵)))
2221rspcva 3280 . . . . 5 ((𝐵 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)) → 𝐵 ⊆ (𝐹𝐵))
2312, 18, 22syl2anc 691 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐹𝐵))
2414, 23eqssd 3585 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = 𝐵)
25 ffn 5958 . . . . 5 (𝐹:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
264, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
27 fnelfp 6346 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵𝐵 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝐵) = 𝐵))
2826, 12, 27syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝐵) = 𝐵))
2924, 28mpbird 246 . 2 (𝜑𝐵 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
30 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ))
3173ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → dom (𝐹 ∩ I ) ⊆ 𝒫 𝐵)
3230, 31sstrd 3578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ 𝒫 𝐵)
33 simp3 1056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ≠ ∅)
34 intssuni2 4437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ⊆ 𝒫 𝐵𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 𝒫 𝐵)
3532, 33, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 𝒫 𝐵)
36 unipw 4845 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝐵 = 𝐵
3735, 36syl6sseq 3614 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧𝐵)
38 intex 4747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
39 elpwg 4116 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
4038, 39sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ≠ ∅ → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
41403ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 𝑧𝐵))
4237, 41mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
44 ismrcd.m . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
45443expib 1260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4645alrimiv 1842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
47463ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4847adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → ∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)))
4932sselda 3568 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵)
5049elpwid 4118 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐵)
51 intss1 4427 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑧 𝑧𝑥)
5251adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧𝑥)
5350, 52jca 553 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑥𝐵 𝑧𝑥))
54 sseq1 3589 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥 𝑧𝑥))
5554anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐵 𝑧𝑥)))
56 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹 𝑧))
5756sseq1d 3595 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥)))
5855, 57imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑥𝐵 𝑧𝑥) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))))
5958spcgv 3266 . . . . . . . 8 ( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 → (∀𝑦((𝑥𝐵𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥)) → ((𝑥𝐵 𝑧𝑥) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))))
6043, 48, 53, 59syl3c 64 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹 𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))
6130sselda 3568 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
62263ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐵)
64 fnelfp 6346 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
6563, 49, 64syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
6661, 65mpbid 221 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
6760, 66sseqtrd 3604 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑧) → (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
6867ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑧 (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
69 ssint 4428 . . . . 5 ((𝐹 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑥)
7068, 69sylibr 223 . . . 4 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) ⊆ 𝑧)
71183ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
72 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
73 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
7472, 73sseq12d 3597 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ↔ 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧)))
7574rspcva 3280 . . . . 5 (( 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)) → 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧))
7642, 71, 75syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ⊆ (𝐹 𝑧))
7770, 76eqssd 3585 . . 3 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → (𝐹 𝑧) = 𝑧)
78 fnelfp 6346 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐵 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵) → ( 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹 𝑧) = 𝑧))
7962, 42, 78syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → ( 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ) ↔ (𝐹 𝑧) = 𝑧))
8077, 79mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑧 ⊆ dom (𝐹 ∩ I ) ∧ 𝑧 ≠ ∅) → 𝑧 ∈ dom (𝐹 ∩ I ))
817, 29, 80ismred 16085 1 (𝜑 → dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Moore‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wal 1473   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  cin 3539  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108   cuni 4372   cint 4410   I cid 4948  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  Moorecmre 16065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-mre 16069
This theorem is referenced by:  ismrcd2  36280  istopclsd  36281  ismrc  36282
  Copyright terms: Public domain W3C validator