Theorem islshpkrN 33425

Description: The predicate "is a hyperplane" (of a left module or left vector space). TODO: should it be 𝑈 = (𝐾‘𝑔) or (𝐾‘𝑔) = 𝑈 as in lshpkrex 33423? Both standards seem to be used randomly throughout set.mm; we should decide on a preferred one. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islshpkrN	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem islshpkrN

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpset2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3		lshpset2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
4		lshpset2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lshpset2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lshpset2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lshpset2N 33424	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})
8	7	eleq2d 2673	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}))
9		elex 3185	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} → 𝑈 ∈ V)
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))}) → 𝑈 ∈ V)
11		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾‘𝑔) ∈ V
12		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → (𝑈 ∈ V ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ V))
13	11, 12	mpbiri 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = (𝐾‘𝑔) → 𝑈 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
15	14	rexlimivw 3011	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑈 ∈ V)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))) → 𝑈 ∈ V)
17		eqeq1 2614	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (𝑠 = (𝐾‘𝑔) ↔ 𝑈 = (𝐾‘𝑔)))
18	17	anbi2d 736	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
19	18	rexbidv 3034	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑈 → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
20	19	elabg 3320	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
21	10, 16, 20	pm5.21nd 939	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))
22	8, 21	bitrd 267	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑈 = (𝐾‘𝑔))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  0_gc0g 15923  LVecclvec 18923  LSHypclsh 33280  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lshyp 33282  df-lfl 33363  df-lkr 33391

This theorem is referenced by: (None)