Theorem ishmeo 21372

Description: The predicate F is a homeomorphism between topology 𝐽 and topology 𝐾. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishmeo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Proof of Theorem ishmeo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5218	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
2	1	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
3		hmeofval 21371	. 2 ⊢ (𝐽Homeo𝐾) = {𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∣ ◡𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)}
4	2, 3	elrab2 3333	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ^◡ccnv 5037  (class class class)co 6549   Cn ccn 20838  Homeochmeo 21366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-top 20521  df-topon 20523  df-cn 20841  df-hmeo 21368

This theorem is referenced by:  hmeocn  21373  hmeocnvcn  21374  hmeocnv  21375  hmeores  21384  hmeoco  21385  idhmeo  21386  indishmph  21411  cmphaushmeo  21413  ordthmeo  21415  txhmeo  21416  txswaphmeo  21418  pt1hmeo  21419  ptunhmeo  21421  xkohmeo  21428  qtopf1  21429  qtophmeo  21430  grpinvhmeo  21700  tgplacthmeo  21717  cncfcnvcn  22532  icchmeo  22548  cnrehmeo  22560  cnheiborlem  22561  ismtyhmeo  32774