Theorem ipblnfi 27095

Description: A function 𝐹 generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector 𝐴) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to ℂ. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipblnfi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipblnfi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ipblnfi.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipblnfi.c	⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
ipblnfi.l	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
ipblnfi.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ipblnfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋   𝑥,𝑃

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem ipblnfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipblnfi.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 27055	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ipblnfi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		ipblnfi.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	3, 4	dipcl 26951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 5	mp3an1 1403	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
7	6	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8		ipblnfi.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝑃𝐴))
9	7, 8	fmptd 6292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11	3, 10	nvscl 26865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
12	2, 11	mp3an1 1403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2lr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
14		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
15		simpll 786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	3, 16, 4	dipdir 27081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
18	1, 17	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)))
20		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
21		simprl 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
22	3, 16, 10, 4, 1	ipassi 27080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
24	23	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)𝑃𝐴) + (𝑤𝑃𝐴)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
25	19, 24	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
26	12	adantll 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
27	3, 16	nvgcl 26859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
28	2, 27	mp3an1 1403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
29	26, 28	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
30	29	anasss 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
31		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) → (𝑥𝑃𝐴) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
32		ovex 6577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴) ∈ V
33	31, 8, 32	fvmpt 6191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤) ∈ 𝑋 → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = (((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)𝑃𝐴))
35		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑧𝑃𝐴))
36		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧𝑃𝐴) ∈ V
37	35, 8, 36	fvmpt 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
38	37	ad2antrl 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
39	38	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)))
40		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑤𝑃𝐴))
41		ovex 6577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤𝑃𝐴) ∈ V
42	40, 8, 41	fvmpt 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
43	42	ad2antll 761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑤) = (𝑤𝑃𝐴))
44	39, 43	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)) = ((𝑦 · (𝑧𝑃𝐴)) + (𝑤𝑃𝐴)))
45	25, 34, 44	3eqtr4d 2654	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
46	45	ralrimivva 2954	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
47	46	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))
48		ipblnfi.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
49	48	cnnv 26916	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ NrmCVec
50	48	cnnvba 26918	. . . . 5 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝐶)
51	48	cnnvg 26917	. . . . 5 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝐶)
52	48	cnnvs 26919	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝐶)
53		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑈 LnOp 𝐶) = (𝑈 LnOp 𝐶)
54	3, 50, 16, 51, 10, 52, 53	islno 26992	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ NrmCVec) → (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤)))))
55	2, 49, 54	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 (𝐹‘((𝑦( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)( +𝑣 ‘𝑈)𝑤)) = ((𝑦 · (𝐹‘𝑧)) + (𝐹‘𝑤))))
56	9, 47, 55	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶))
57		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
58	3, 57	nvcl 26900	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
59	2, 58	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
60	3, 57, 4, 1	sii 27093	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
61	60	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑧𝑃𝐴)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
62	37	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧𝑃𝐴))
63	62	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑃𝐴)))
64	59	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ)
65	3, 57	nvcl 26900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
66	2, 65	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
67	66	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
68		mulcom 9901	. . . . 5 ⊢ ((((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
69	64, 67, 68	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) · ((normCV‘𝑈)‘𝐴)))
70	61, 63, 69	3brtr4d 4615	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
71	70	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
72	48	cnnvnm 26920	. . 3 ⊢ abs = (normCV‘𝐶)
73		ipblnfi.l	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝐶)
74	3, 57, 72, 53, 73, 2, 49	blo3i 27041	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑈 LnOp 𝐶) ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (((normCV‘𝑈)‘𝐴) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) → 𝐹 ∈ 𝐵)
75	56, 59, 71, 74	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954  abscabs 13822  NrmCVeccnv 26823   +_𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·_𝑠OLD cns 26826  norm_CVcnmcv 26829  ·_𝑖OLDcdip 26939   LnOp clno 26979   BLnOp cblo 26981  CPreHil_OLDccphlo 27051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-lno 26983  df-nmoo 26984  df-blo 26985  df-0o 26986  df-ph 27052

This theorem is referenced by:  htthlem  27158