Theorem iccsplit 12176

Description: Split a closed interval into the union of two closed intervals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccsplit	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))

Proof of Theorem iccsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		simplr2 1097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥)
3		simpr1 1060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4		iccssre 12126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5	4	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ))
6	5	3impia 1253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		ltle 10005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶))
9	3, 7, 8	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 < 𝐶 → 𝑥 ≤ 𝐶))
10	9	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶)
11	1, 2, 10	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
12	11	orcd 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝑥 < 𝐶) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
13		simplr1 1096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝐶 ≤ 𝑥)
15		simplr3 1098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
16	13, 14, 15	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
17	16	olcd 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐶 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
18	12, 17, 3, 7	ltlecasei 10024	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
19	18	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
20		simp1 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ))
22		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝑥))
24		elicc2 12109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
25	20	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26		simp1 1054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
28		simp1r 1079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29		simp3 1056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐶)
30	29	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
31		simp3 1056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
32	31	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
33	25, 27, 28, 30, 32	letrd 10073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
34	33	3exp 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵)))
35	24, 34	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵)))
36	35	3impia 1253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → 𝑥 ≤ 𝐵))
37	21, 23, 36	3jcad 1236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
38		simp1 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
40		simp1l 1078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	26	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	38	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		simp2 1055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
44	43	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
45		simp2 1055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝑥)
46	45	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝑥)
47	40, 41, 42, 44, 46	letrd 10073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
48	47	3exp 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥)))
49	24, 48	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥)))
50	49	3impia 1253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑥))
51		simp3 1056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵))
53	39, 50, 52	3jcad 1236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
54	37, 53	jaod 394	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
55	19, 54	impbid 201	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
56		elicc2 12109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
57	56	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
58	5	imdistani 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
59	58	3impa 1251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
60		elicc2 12109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
61	60	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
62		elicc2 12109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
63	62	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
64	63	adantll 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
65	61, 64	orbi12d 742	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
66	59, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶) ∨ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
67	55, 57, 66	3bitr4d 299	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵))))
68		elun 3715	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐵)))
69	67, 68	syl6bbr 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵))))
70	69	eqrdv 2608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐶) ∪ (𝐶[,]𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  22535  volcn  23180  itgspliticc  23409  cvmliftlem10  30530  iblspltprt  38865