Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hpgid.l |
. . . 4
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) |
2 | | hpgid.g |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
3 | | hpgid.d |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
4 | 1, 2, 3 | tglnne0 25335 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ ∅) |
5 | | n0 3890 |
. . 3
⊢ (𝐷 ≠ ∅ ↔
∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷) |
6 | 4, 5 | sylib 207 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐷) |
7 | | hpgid.p |
. . . 4
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
8 | | eqid 2610 |
. . . 4
⊢
(dist‘𝐺) =
(dist‘𝐺) |
9 | | hpgid.i |
. . . 4
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
10 | 2 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
11 | | hpgid.a |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) |
12 | 11 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
13 | 3 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
14 | | simpr 476 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
15 | 7, 1, 9, 10, 13, 14 | tglnpt 25244 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
16 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
17 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
18 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (#‘𝑃) = 1) |
19 | 7, 9, 1, 17, 18 | tglndim0 25324 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ¬ 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
20 | 16, 19 | pm2.65da 598 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ¬ (#‘𝑃) = 1) |
21 | 7, 11 | tgldimor 25197 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))) |
22 | 21 | ord 391 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (¬ (#‘𝑃) = 1 → 2 ≤
(#‘𝑃))) |
23 | 20, 22 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝑃)) |
24 | 23 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 2 ≤ (#‘𝑃)) |
25 | 7, 8, 9, 10, 12, 15, 24 | tgbtwndiff 25201 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) |
26 | | hpgid.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) |
27 | 26 | ad4antr 764 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷) |
28 | 10 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
29 | 15 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
30 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑐 ∈ 𝑃) |
31 | 30 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝑃) |
32 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
33 | 32 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
34 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 𝑐) |
35 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) |
36 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) |
37 | 7, 9, 1, 28, 29, 31, 33, 34, 36 | btwnlng2 25315 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑐)) |
38 | 13 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
39 | 14 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
40 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
41 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝑐 ∈ 𝐷) |
42 | 7, 9, 1, 28, 29, 31, 34, 34, 38, 40, 41 | tglinethru 25331 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑐)) |
43 | 37, 42 | eleqtrrd 2691 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷) |
44 | 27, 43 | mtand 689 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) |
45 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐))) |
46 | 45 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) |
47 | 39, 35, 46 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) |
48 | 27, 44, 47 | jca31 555 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))) |
49 | 48 | anasss 677 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐))) |
50 | | hpgid.o |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑂 = {〈𝑎, 𝑏〉 ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} |
51 | 7, 8, 9, 50, 32, 30 | islnopp 25431 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))) |
52 | 51 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ↔ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))) |
53 | 49, 52 | mpbird 246 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐) |
54 | 53 | ex 449 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → 𝐴𝑂𝑐)) |
55 | 54 | reximdva 3000 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑥 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)) |
56 | 25, 55 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐) |
57 | 6, 56 | exlimddv 1850 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐) |