Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlrelat5N 33705
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic, using the definition in Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlrelat5.l = (le‘𝐾)
hlrelat5.s < = (lt‘𝐾)
hlrelat5.j = (join‘𝐾)
hlrelat5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlrelat5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   < (𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem hlrelat5N
StepHypRef Expression
1 hlrelat5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlrelat5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlrelat5.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
4 hlrelat5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlrelat1 33704 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
65imp 444 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
7 hllat 33668 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8 id 22 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
91, 4atbase 33594 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
10 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 𝑝) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐵 → (𝑋 𝑝) ∈ V)
122, 3pltval 16783 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ V) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1311, 12syl3an3 1353 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
14 hlrelat5.j . . . . . . . . . . . 12 = (join‘𝐾)
151, 2, 14latlej1 16883 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑝))
1615biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑝) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝))))
1713, 16bitr4d 270 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
181, 2, 14latleeqj1 16886 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑋𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
19183com23 1263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
201, 14latjcom 16882 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) = (𝑝 𝑋))
2120eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑝) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋) = 𝑋))
2219, 21bitr4d 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑝 𝑋 ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
2322notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋 ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋))
24 nesym 2838 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ (𝑋 𝑝) ↔ ¬ (𝑋 𝑝) = 𝑋)
2523, 24syl6bbr 277 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑝)))
2617, 25bitr4d 270 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
277, 8, 9, 26syl3an 1360 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
28273expa 1257 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑋 < (𝑋 𝑝) ↔ ¬ 𝑝 𝑋))
2928anbi1d 737 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
3029rexbidva 3031 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
31303adant3 1074 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
3231adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
336, 32mpbird 246 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋 < (𝑋 𝑝) ∧ 𝑝 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  ltcplt 16764  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator