Theorem gsumspl 17204

Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumspl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
gsumspl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
gsumspl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumspl.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
2	1	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3	2	oveq1d 6564	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
4		gsumspl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
5		gsumspl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
6		gsumspl.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
7		gsumspl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
8		splval 13353	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
9	4, 5, 6, 7, 8	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
10	9	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
11		gsumspl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
12		swrdcl 13271	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
14		ccatcl 13212	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
15	13, 7, 14	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16		swrdcl 13271	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
17	4, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18		gsumspl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
20	18, 19	gsumccat 17201	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
22	18, 19	gsumccat 17201	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
23	11, 13, 7, 22	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
24	23	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
25	10, 21, 24	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
26		gsumspl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
27		splval 13353	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
28	4, 5, 6, 26, 27	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
29	28	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
30		ccatcl 13212	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
31	13, 26, 30	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
32	18, 19	gsumccat 17201	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
33	11, 31, 17, 32	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
34	18, 19	gsumccat 17201	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
35	11, 13, 26, 34	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
36	35	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
37	29, 33, 36	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
38	3, 25, 37	3eqtr4d 2654	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   splice csplice 13151  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-splice 13159  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17738