Theorem gchpwdom 9371

Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchpwdom	⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem gchpwdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1058	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2		pwexg 4776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4		simpl3 1059	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
5		cdadom3 8893	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
7		domen2 7988	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)))
8	6, 7	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
9		cdacomen 8886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)
10		entr 7894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
11	9, 10	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
12		ensym 7891	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
13		endom 7868	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
15		domsdomtr 7980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
16	15	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≺ 𝐵)
17		sdomnsym 7970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
19		isfinite 8432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
20	18, 19	sylnibr 318	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
21		gchcdaidm 9369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
22	4, 20, 21	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
23		pwen 8018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24		domen1 7987	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
26		pwcdadom 8921	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
27		canth2g 7999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
28		sdomdomtr 7978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
29	28	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
30	4, 27, 29	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
31		gchi 9325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
32	31	3expia 1259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
33	32	3ad2antl2 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
34		isfinite 8432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
35		simpl1 1057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ω ≼ 𝐴)
36		domnsym 7971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
38	37	pm2.21d 117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
39	34, 38	syl5bi 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
40	30, 33, 39	3syld 58	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
41	26, 40	syl5 33	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
42	25, 41	sylbird 249	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
43	14, 42	syl5 33	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
44		cdadom3 8893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
45	4, 3, 44	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
46		domentr 7901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
47	45, 9, 46	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
48		sdomdom 7869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
49	48	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
50		pwdom 7997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
51		cdadom1 8891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
53	4, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
54		sdomdom 7869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
55		cdadom2 8892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
56	53, 54, 55	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
57		domtr 7895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
58	52, 56, 57	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
59		pwcda1 8899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
60	4, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
61		gchcda1 9357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
62	4, 20, 61	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
63		pwen 8018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
65		entr 7894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
66	60, 64, 65	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
67		domentr 7901	. . . . . 6 ⊢ (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
68	58, 66, 67	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
69		gchor 9328	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
70	4, 20, 47, 68, 69	syl22anc 1319	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
71	8, 43, 70	mpjaod 395	. . 3 ⊢ (((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
72	71	ex 449	. 2 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))
73		reldom 7847	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
74	73	brrelexi 5082	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
75		pwexb 6867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
76		canth2g 7999	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
77	75, 76	sylbir 224	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
78	74, 77	syl 17	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
79		sdomdomtr 7978	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
80	78, 79	mpancom 700	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)
81	72, 80	impbid1 214	1 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841   +_𝑐 ccda 8872  GCHcgch 9321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-oexp 7453  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-har 8346  df-wdom 8347  df-cnf 8442  df-card 8648  df-cda 8873  df-fin4 8992  df-gch 9322

This theorem is referenced by:  gchaleph2  9373  gchina  9400