MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filintn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filintn0 21475
Description: A filter has the finite intersection property. Remark below definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 20-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filintn0 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem filintn0
StepHypRef Expression
1 elfir 8204 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
2 filfi 21473 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
32adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
41, 3eleqtrd 2690 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝐹)
5 fileln0 21464 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)
64, 5syldan 486 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wss 3540  c0 3874   cint 4410  cfv 5804  Fincfn 7841  ficfi 8199  Filcfil 21459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-fbas 19564  df-fil 21460
This theorem is referenced by:  alexsublem  21658
  Copyright terms: Public domain W3C validator