MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fctop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fctop2 20619
Description: The finite complement topology on a set 𝐴. Example 3 in [Munkres] p. 77. (This version of fctop 20618 requires the Axiom of Infinity.) (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fctop2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ≺ ω ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fctop2
StepHypRef Expression
1 isfinite 8432 . . . . 5 ((𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴𝑥) ≺ ω)
21orbi1i 541 . . . 4 (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴𝑥) ≺ ω ∨ 𝑥 = ∅))
32a1i 11 . . 3 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → (((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅) ↔ ((𝐴𝑥) ≺ ω ∨ 𝑥 = ∅)))
43rabbiia 3161 . 2 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ≺ ω ∨ 𝑥 = ∅)}
5 fctop 20618 . 2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ∈ Fin ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))
64, 5syl5eqelr 2693 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ((𝐴𝑥) ≺ ω ∨ 𝑥 = ∅)} ∈ (TopOn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  cdif 3537  c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  cfv 5804  ωcom 6957  csdm 7840  Fincfn 7841  TopOnctopon 20518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-top 20521  df-topon 20523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator