Theorem exp0 12726

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11265	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 12724	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2610	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4043	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	syl6eq 2660	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  seqcseq 12663  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-neg 10148  df-z 11255  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  0exp0e1  12727  expp1  12729  expneg  12730  expcllem  12733  mulexp  12761  expadd  12764  expmul  12767  leexp1a  12781  exple1  12782  bernneq  12852  modexp  12861  exp0d  12864  faclbnd4lem1  12942  faclbnd4lem3  12944  faclbnd4lem4  12945  cjexp  13738  absexp  13892  binom  14401  incexclem  14407  incexc  14408  climcndslem1  14420  fprodconst  14547  fallfac0  14598  bpoly0  14620  ege2le3  14659  eft0val  14681  demoivreALT  14770  pwp1fsum  14952  bits0  14988  0bits  14999  bitsinv1  15002  sadcadd  15018  smumullem  15052  numexp0  15618  psgnunilem4  17740  psgn0fv0  17754  psgnsn  17763  psgnprfval1  17765  cnfldexp  19598  expmhm  19634  expcn  22483  iblcnlem1  23360  itgcnlem  23362  dvexp  23522  dvexp2  23523  plyconst  23766  0dgr  23805  0dgrb  23806  aaliou3lem2  23902  cxp0  24216  1cubr  24369  log2ublem3  24475  basellem2  24608  basellem5  24611  lgsquad2lem2  24910  rusgranumwlk  26484  oddpwdc  29743  subfacval2  30423  fwddifn0  31441  stoweidlem19  38912  fmtno0  39990  pwdif  40039  bits0ALTV  40128  0dig2nn0e  42204  0dig2nn0o  42205  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212  nn0sumshdiglem1  42213  nn0sumshdiglem2  42214