MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem6 19334
Description: Lemma for evlseu 19337. Finiteness and consistency of the top-level sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem6.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
evlslem6 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏   ,𝐼   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏   𝑌,𝑏   ,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(,𝑝,𝑏)   𝐶(,𝑝)   𝐷(,𝑝)   𝑃(,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝)   𝑆(,𝑝)   𝑇(,𝑝,𝑏)   · (,𝑝,𝑏)   𝐸(,𝑝,𝑏)   (,𝑝,𝑏)   𝐹(,𝑝,𝑏)   𝐺(,𝑝,𝑏)   𝐼(𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(,𝑝,𝑏)   𝑌(,𝑝)

Proof of Theorem evlslem6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2 crngring 18381 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
5 evlslem1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
6 evlslem1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
86, 7rhmf 18549 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐹:𝐾𝐶)
11 evlslem1.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 evlslem1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
13 evlslem1.d . . . . . . 7 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
14 evlslem6.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
1511, 6, 12, 13, 14mplelf 19254 . . . . . 6 (𝜑𝑌:𝐷𝐾)
1615ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑌𝑏) ∈ 𝐾)
1710, 16ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ 𝐶)
18 evlslem1.t . . . . . 6 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
1918, 7mgpbas 18318 . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 evlslem1.x . . . . 5 = (.g𝑇)
21 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑇) = (0g𝑇)
2218crngmgp 18378 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
231, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
25 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
26 evlslem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
28 evlslem1.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
3013, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 29psrbagev2 19332 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
31 evlslem1.m . . . . 5 · = (.r𝑆)
327, 31ringcl 18384 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
334, 17, 30, 32syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
34 eqid 2610 . . 3 (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
3533, 34fmptd 6292 . 2 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
36 ovex 6577 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V)
3813, 37rabexd 4741 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
39 mptexg 6389 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V)
4038, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V)
41 funmpt 5840 . . . 4 Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
4241a1i 11 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
43 fvex 6113 . . . 4 (0g𝑆) ∈ V
4443a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ V)
45 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
46 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4711, 12, 45, 14, 46mplelsfi 19312 . . . 4 (𝜑𝑌 finSupp (0g𝑅))
4847fsuppimpd 8165 . . 3 (𝜑 → (𝑌 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
4915feqmptd 6159 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = (𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)))
5049oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 supp (0g𝑅)) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)))
51 eqimss2 3621 . . . . . 6 ((𝑌 supp (0g𝑅)) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
53 rhmghm 18548 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
54 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5545, 54ghmid 17489 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
565, 53, 553syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
57 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑌𝑏) ∈ V
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑌𝑏) ∈ V)
59 fvex 6113 . . . . . 6 (0g𝑅) ∈ V
6059a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
6152, 56, 58, 60suppssfv 7218 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑏))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
627, 31, 54ringlz 18410 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐶) → ((0g𝑆) · 𝑥) = (0g𝑆))
633, 62sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((0g𝑆) · 𝑥) = (0g𝑆))
64 fvex 6113 . . . . 5 (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ V
6564a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ V)
6661, 63, 65, 30, 44suppssov1 7214 . . 3 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
67 suppssfifsupp 8173 . . 3 ((((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∧ (0g𝑆) ∈ V) ∧ ((𝑌 supp (0g𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
6840, 42, 44, 48, 66, 67syl32anc 1326 . 2 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
6935, 68jca 553 1 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ccnv 5037  cima 5041  Fun wfun 5798  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793   supp csupp 7182  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  cn 10897  0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  .gcmg 17363   GrpHom cghm 17480  CMndccmn 18016  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535   mVar cmvr 19173   mPoly cmpl 19174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-psr 19177  df-mpl 19179
This theorem is referenced by:  evlslem1  19336
  Copyright terms: Public domain W3C validator