Theorem etransclem26 39153

Description: Every term in the sum of the 𝑁-th derivative of 𝐹 applied to 𝐽 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem26.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem26.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem26.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem26.jz	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
etransclem26.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem26.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
etransclem26	⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝜑,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑛)   𝑃(𝑗,𝑛,𝑐)   𝐽(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem26.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘𝑁))
2		etransclem26.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
3		etransclem26.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	etransclem12 39139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
5	1, 4	eleqtrd 2690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
6		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
7	6	sumeq2ad 38632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
8	7	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁 ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
9	8	elrab 3331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ↔ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
10	5, 9	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁))
11	10	simprd 478	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 𝑁)
12	11	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
13	12	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
14	13	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
15		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
16		fzfid 12634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
17		nn0ex 11175	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		fzssnn0 38474	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑁) ⊆ ℕ0
19		mapss 7786	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝑁) ⊆ ℕ0) → ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 (0...𝑀)))
20	17, 18, 19	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 (0...𝑀))
21	10	simpld 474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
22	20, 21	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (0...𝑀)))
23	15, 16, 22	mccl 38665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
24	14, 23	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 11357	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) ∈ ℤ)
26		etransclem26.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27		etransclem26.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
28		elmapi 7765	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
29	21, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
30		etransclem26.jz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
31	26, 27, 29, 30	etransclem10 39137	. . 3 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) ∈ ℤ)
32		fzfid 12634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
33	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
34	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
35		0z 11265	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		fzp1ss 12262	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
38		1e0p1 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
39	38	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑀) = ((0 + 1)...𝑀)
40	39	eleq2i 2680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
41	40	biimpi 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀))
42	37, 41	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
43	42	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
44	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐽 ∈ ℤ)
45	33, 34, 43, 44	etransclem3 39130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
46	32, 45	fprodzcl 14523	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) ∈ ℤ)
47	31, 46	zmulcld 11364	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) ∈ ℤ)
48	25, 47	zmulcld 11364	1 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (𝐽↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((𝐽 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922  Σcsu 14264  ∏cprod 14474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-prod 14475

This theorem is referenced by:  etransclem28  39155  etransclem36  39163  etransclem38  39165