Theorem estrreslem2 16601

Description: Lemma 2 for estrres 16602. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
estrres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
estrres.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
estrres.x	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrreslem2	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

Proof of Theorem estrreslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) = (Base‘ndx))
2	1	3mix1d 1229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx)))
3		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
4		eltpg 4174	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ∈ V → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} ↔ ((Base‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (Hom ‘ndx) ∨ (Base‘ndx) = (comp‘ndx))))
6	2, 5	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
7		df-tp 4130	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
9	8	dmeqd 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
10		dmun 5253	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩})
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}))
12		estrres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		estrres.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
14		dmpropg 5526	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ 𝑋) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
15	12, 13, 14	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)})
16		estrres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑌)
17		dmsnopg 5524	. . . . . 6 ⊢ ( · ∈ 𝑌 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩} = {(comp‘ndx)})
19	15, 18	uneq12d 3730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩} ∪ dom {⟨(comp‘ndx), · ⟩}) = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
20	9, 11, 19	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
21		estrres.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
22	21	dmeqd 5248	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
23		df-tp 4130	. . . 4 ⊢ {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)})
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)} = ({(Base‘ndx), (Hom ‘ndx)} ∪ {(comp‘ndx)}))
25	20, 22, 24	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐶 = {(Base‘ndx), (Hom ‘ndx), (comp‘ndx)})
26	6, 25	eleqtrrd 2691	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  Hom chom 15779  compcco 15780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  estrres  16602