Theorem entr 7894

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7888	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 7644	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	trud 1484	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ⊤wtru 1476  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   Er wer 7626   ≈ cen 7838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-er 7629  df-en 7842

This theorem is referenced by:  entri  7896  en2sn  7922  xpsnen2g  7938  omxpen  7947  enen1  7985  enen2  7986  map2xp  8015  pwen  8018  ssenen  8019  phplem4  8027  php3  8031  snnen2o  8034  fineqvlem  8059  ssfi  8065  en1eqsn  8075  dif1en  8078  unfi  8112  unxpwdom2  8376  infdifsn  8437  infdiffi  8438  karden  8641  xpnum  8660  cardidm  8668  ficardom  8670  carden2a  8675  carden2b  8676  isinffi  8701  pm54.43  8709  pr2ne  8711  en2eqpr  8713  en2eleq  8714  infxpenlem  8719  infxpidm2  8723  mappwen  8818  finnisoeu  8819  cdaen  8878  cdaenun  8879  cda1dif  8881  cdaassen  8887  mapcdaen  8889  pwcdaen  8890  infcda1  8898  pwcdaidm  8900  cardacda  8903  ficardun  8907  pwsdompw  8909  infxp  8920  infmap2  8923  ackbij1lem5  8929  ackbij1lem9  8933  ackbij1b  8944  fin4en1  9014  isfin4-3  9020  fin23lem23  9031  domtriomlem  9147  axcclem  9162  carden  9252  alephadd  9278  gchcdaidm  9369  gchxpidm  9370  gchpwdom  9371  gchhar  9380  tskuni  9484  fzen2  12630  isprm2lem  15232  hashdvds  15318  unbenlem  15450  unben  15451  4sqlem11  15497  pmtrfconj  17709  psgnunilem1  17736  odinf  17803  dfod2  17804  sylow2blem1  17858  sylow2  17864  frlmisfrlm  20006  hmphindis  21410  dyadmbl  23174  padct  28885  f1ocnt  28946  volmeas  29621  sconpi1  30475  lzenom  36351  fiphp3d  36401  frlmpwfi  36686  isnumbasgrplem3  36694  fiuneneq  36794  rp-isfinite5  36882  enrelmap  37311  enrelmapr  37312  enmappw  37313