Theorem elfz1b 12279

Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1b	⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Proof of Theorem elfz1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 12204	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
2		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0red 9920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4		1red 9934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		0lt1 10429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11		ltletr 10008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
12	11	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
13	7, 9, 10, 12	syl12anc 1316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14		elnnz 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	2, 13, 14	sylanbrc 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	16	3ad2ant3 1077	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	19	impcom 445	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21		zre 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23	21, 5, 22	3anim123i 1240	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3com23 1263	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25		letr 10010	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		0red 9920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 9934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
33	28, 29, 30, 31, 32	ltletrd 10076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34		elnnz 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
35	27, 33, 34	sylanbrc 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
36	35	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
37	36	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
38	26, 37	syld 46	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
39	38	imp 444	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40		simprr 792	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
41	20, 39, 40	3jca 1235	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
42		1zzd 11285	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43		nnz 11276	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		nnz 11276	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	42, 44, 46	3jca 1235	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48		nnge1 10923	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49	48	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
51	47, 49, 50	jca32 556	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
52	41, 51	impbii 198	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
53	1, 52	bitri 263	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  ubmelfzo  12400  cshwidxm  13405  cshwidxn  13406  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem2  24892  gausslemma2dlem4  24894  pmtrto1cl  29180  psgnfzto1stlem  29181  fzto1st  29184  psgnfzto1st  29186  poimirlem32  32611