Theorem domtr 7895

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7847	. 2 ⊢ Rel ≼
2		vex 3176	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	brdom 7853	. . 3 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦)
4		vex 3176	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	brdom 7853	. . 3 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧)
6		eeanv 2170	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧))
7		f1co 6023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑦–1-1→𝑧 ∧ 𝑔:𝑥–1-1→𝑦) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
8	7	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
9		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
11	9, 10	coex 7011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
12		f1eq1 6009	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:𝑥–1-1→𝑧 ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧))
13	11, 12	spcev 3273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧 → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
15	4	brdom 7853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑧 ↔ ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
16	14, 15	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
17	16	exlimivv 1847	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
18	6, 17	sylbir 224	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
19	3, 5, 18	syl2anb 495	. 2 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
20	1, 19	vtoclr 5086	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∃wex 1695   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  –1-1→wf1 5801   ≼ cdom 7839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-dom 7843

This theorem is referenced by:  endomtr  7900  domentr  7901  ssct  7926  undom  7933  sdomdomtr  7978  domsdomtr  7980  xpen  8008  unxpdom2  8053  sucxpdom  8054  fidomdm  8128  hartogs  8332  harword  8353  unxpwdom  8377  harcard  8687  infxpenlem  8719  xpct  8722  indcardi  8747  fodomfi2  8766  infpwfien  8768  inffien  8769  cdadom3  8893  cdainf  8897  infcda1  8898  cdalepw  8901  unctb  8910  infcdaabs  8911  infcda  8913  infdif  8914  infdif2  8915  infxp  8920  infmap2  8923  fictb  8950  cfslb2n  8973  isfin32i  9070  fin1a2lem12  9116  hsmexlem1  9131  brdom3  9231  brdom5  9232  brdom4  9233  imadomg  9237  fimact  9238  iundomg  9242  uniimadom  9245  ondomon  9264  unirnfdomd  9268  alephval2  9273  iunctb  9275  alephexp1  9280  alephreg  9283  cfpwsdom  9285  gchdomtri  9330  canthnum  9350  canthp1lem1  9353  canthp1  9355  pwfseqlem5  9364  pwxpndom2  9366  pwxpndom  9367  pwcdandom  9368  gchcdaidm  9369  gchxpidm  9370  gchpwdom  9371  gchaclem  9379  gchhar  9380  inar1  9476  rankcf  9478  grudomon  9518  grothac  9531  rpnnen  14795  cctop  20620  1stcfb  21058  2ndcredom  21063  2ndc1stc  21064  1stcrestlem  21065  2ndcctbss  21068  2ndcdisj2  21070  2ndcomap  21071  2ndcsep  21072  dis2ndc  21073  hauspwdom  21114  tx1stc  21263  tx2ndc  21264  met2ndci  22137  opnreen  22442  rectbntr0  22443  uniiccdif  23152  dyadmbl  23174  opnmblALT  23177  mbfimaopnlem  23228  abrexdomjm  28729  fnct  28876  dmct  28877  cnvct  28878  mptct  28880  mptctf  28883  locfinreflem  29235  sigaclci  29522  omsmeas  29712  sibfof  29729  abrexdom  32695  heiborlem3  32782  ttac  36621  idomsubgmo  36795  uzct  38257  omeiunle  39407  smfaddlem2  39650  smflimlem6  39662  smfmullem4  39679  smfpimbor1lem1  39683