Theorem dmresi 5376

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3588	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5261	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtr4i 3601	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5340	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 219	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1475  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   I cid 4948  dom cdm 5038   ↾ cres 5040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-dm 5048  df-res 5050

This theorem is referenced by:  fnresi  5922  iordsmo  7341  hartogslem1  8330  dfac9  8841  hsmexlem5  9135  relexpdmg  13630  relexpfld  13637  relexpaddg  13641  dirdm  17057  islinds2  19971  lindsind2  19977  f1linds  19983  wilthlem3  24596  ausisusgra  25884  cusgraexilem2  25996  idssxp  28811  filnetlem3  31545  filnetlem4  31546  rclexi  36941  rtrclex  36943  rtrclexi  36947  cnvrcl0  36951  dfrtrcl5  36955  dfrcl2  36985  brfvrcld2  37003  iunrelexp0  37013  relexpiidm  37015  relexp01min  37024  idhe  37101  residfi  40340  ausgrusgrb  40395  upgrres1  40532  umgrres1  40533  usgrres1  40534  usgrexi  40661