Theorem divrecd 10683

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec 10580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  prodgt0  10747  ltdiv1  10766  ltrec  10784  lediv12a  10795  expsub  12770  expdiv  12773  rlimdiv  14224  isumdivc  14337  fsumdivc  14360  trirecip  14434  geo2sum  14443  geo2lim  14445  prodfdiv  14467  ege2le3  14659  eftlub  14678  eirrlem  14771  prmreclem4  15461  m1expaddsub  17741  abvdiv  18660  cnsubrg  19625  nmdvr  22284  nmoi2  22344  cphdivcl  22790  ipcau2  22841  ovolsca  23090  dvsincos  23548  plyeq0lem  23770  plydivlem4  23855  aalioulem4  23894  geolim3  23898  aaliou3lem8  23904  taylthlem2  23932  advlogexp  24201  cxpsub  24228  divcxp  24233  dvcxp1  24281  dvcncxp1  24284  relogbdiv  24317  lawcoslem1  24345  dvatan  24462  leibpi  24469  log2tlbnd  24472  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem4  24558  basellem8  24614  chebbnd1  24961  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrmusumlema  24982  dchrisum0lema  25003  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrmusumlem  25011  mulogsumlem  25020  mulogsum  25021  logdivsum  25022  mulog2sumlem1  25023  vmalogdivsum2  25027  2vmadivsumlem  25029  log2sumbnd  25033  logdivbnd  25045  selberg4lem1  25049  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd2  25076  smcnlem  26936  ipasslem5  27074  omssubadd  29689  knoppndvlem14  31686  dvtan  32630  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  irrapxlem5  36408  pell14qrdivcl  36447  hashnzfzclim  37543  binomcxplemnotnn0  37577  ltdiv23neg  38558  climdivf  38679  divlimc  38723  divcncf  38769  dvmptdiv  38807  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnxpaek  38832  stoweidlem36  38929  wallispi  38963  stirlinglem7  38973  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem39  39039  fourierdlem40  39040  fourierdlem56  39055  fourierdlem62  39061  fourierdlem78  39077  fourierdlem83  39082  fourierdlem95  39094  smfdiv  39682  dignn0flhalflem1  42207  amgmlemALT  42358  young2d  42360