Theorem divmuldiv 10604

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
divmuldiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divmuldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1035	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)))
2		3anass 1035	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)))
3		divcl 10570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4		divcl 10570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5		mulcl 9899	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ)
7		mulcl 9899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	7	ad2ant2r 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9	8	3adantr1 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
10	9	3adantl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
11		mulne0 10548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
12	11	3adantr1 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
13	12	3adantl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
14		divcan3 10590	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)))
16		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	16, 3	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ))
18		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18, 4	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ))
20		mul4 10084	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
21	17, 19, 20	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))))
22		divcan2 10572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) = 𝐴)
23		divcan2 10572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 · (𝐵 / 𝐷)) = 𝐵)
24	22, 23	oveqan12d 6568	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · (𝐴 / 𝐶)) · (𝐷 · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
25	21, 24	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) = (𝐴 · 𝐵))
26	25	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐶 · 𝐷) · ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷))) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
27	15, 26	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
28	1, 2, 27	syl2anbr 496	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))
29	28	an4s 865	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐵) / (𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  divdivdiv  10605  divcan5  10606  divmul13  10607  divmul24  10608  divmuldivi  10664  divmuldivd  10721  qmulcl  11682  mulexpz  12762  expaddz  12766  sqdiv  12790  faclbnd2  12940  bcm1k  12964  bcp1n  12965  pythagtriplem16  15373  dvsqrt  24283  dquartlem1  24378  basellem8  24614  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  pntlemr  25091  pntlemf  25094  wallispilem4  38961