Theorem cxpef 24211

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpef	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpval 24210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
2	1	3adant2 1073	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
3		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
4	3	neneqd 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ¬ 𝐴 = 0)
5	4	iffalsed 4047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
6	2, 5	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  expce 14631  logclog 24105  ↑_𝑐ccxp 24106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-mulcl 9877  ax-i2m1 9883

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-cxp 24108

This theorem is referenced by:  cxpexpz  24213  logcxp  24215  1cxp  24218  ecxp  24219  rpcxpcl  24222  cxpne0  24223  cxpadd  24225  mulcxp  24231  cxpmul  24234  abscxp  24238  abscxp2  24239  cxplt  24240  cxple2  24243  cxpsqrtlem  24248  cxpsqrt  24249  cxpefd  24258  1cubrlem  24368  bposlem9  24817  iexpire  30874