Theorem cnlnadjlem6 28315

Description: Lemma for cnlnadji 28319. 𝐹 is linear. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ConOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem6	⊢ 𝐹 ∈ LinOp

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem6

Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.5	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
2		cnlnadjlem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ConOp
4		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6	2, 3, 4, 5	cnlnadjlem3 28312	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ ℋ)
7	1, 6	fmpti 6291	. 2 ⊢ 𝐹: ℋ⟶ ℋ
8	2	lnopfi 28212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelrni 6266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
11		hvmulcl 27254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ)
12	11	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ)
13		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
14		his7 27331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘𝑡) ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)))
16		hvaddcl 27253	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑓) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
17	11, 16	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
18	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 28314	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))))
19	17, 18	sylan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih ((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))))
20		simpll 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ)
22		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑓 ∈ ℋ)
23		his5 27327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑡) ∈ ℋ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
25		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
26	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 28313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℋ → (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ)
27	26	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ)
28		his5 27327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
29	20, 25, 27, 28	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
30	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 28314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓)))
31	30	adantll 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓)))
32	31	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)) = ((∗‘𝑥) · (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑓))))
33	29, 32	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) = ((∗‘𝑥) · ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑓)))
34	24, 33	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))))
35	34	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) = (𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))))
36	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem5 28314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧)))
37	36	adantll 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧) = (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧)))
38	35, 37	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
39		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → 𝑡 ∈ ℋ)
40		hvmulcl 27254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑓) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
41	26, 40	sylan2 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
42	41	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ)
43	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 28313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ)
44	43	ad2antlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ)
45		his7 27331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
46	39, 42, 44, 45	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) = ((𝑡 ·ih (𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓))) + (𝑡 ·ih (𝐹‘𝑧))))
47	38, 46	eqtr4d 2647	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑡) ·ih (𝑥 ·ℎ 𝑓)) + ((𝑇‘𝑡) ·ih 𝑧)) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
48	15, 19, 47	3eqtr3d 2652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑡 ∈ ℋ) → (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
49	48	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
50	2, 3, 4, 5, 1	cnlnadjlem4 28313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
51	17, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ)
52		hvaddcl 27253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ)
53	41, 43, 52	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ)
54		hial2eq2 27348	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) ∈ ℋ ∧ ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)) ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
55	51, 53, 54	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∀𝑡 ∈ ℋ (𝑡 ·ih (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧))) = (𝑡 ·ih ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))) ↔ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
56	49, 55	mpbid 221	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)))
57	56	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧)))
58	57	rgen2 2958	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))
59		ellnop 28101	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ LinOp ↔ (𝐹: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑓 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐹‘((𝑥 ·ℎ 𝑓) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝐹‘𝑓)) +ℎ (𝐹‘𝑧))))
60	7, 58, 59	mpbir2an 957	1 ⊢ 𝐹 ∈ LinOp

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820  ∗ccj 13684   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161   ·_ℎ csm 27162   ·_ih csp 27163  ConOpccop 27187  LinOpclo 27188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-t1 20928  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-nmop 28082  df-cnop 28083  df-lnop 28084  df-nmfn 28088  df-nlfn 28089  df-cnfn 28090  df-lnfn 28091

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  28317  cnlnadjlem9  28318