Theorem clatp1cl 29003

Description: The poset one of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp1cl.1	⊢ 1 = (1.‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clatp1cl	⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatp1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (lub‘𝑊) = (lub‘𝑊)
3		clatp1cl.1	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝑊)
4	1, 2, 3	p1val 16865	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 = ((lub‘𝑊)‘𝐵))
5		ssid 3587	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	1, 2	clatlubcl 16935	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
7	5, 6	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
8	4, 7	eqeltrd 2688	1 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lubclub 16765  1.cp1 16861  CLatccla 16930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-lub 16797  df-glb 16798  df-p1 16863  df-clat 16931

This theorem is referenced by: (None)