Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk2 35138
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 22-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemk2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))

Proof of Theorem cdlemk2
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
3 simp2l 1080 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 cdlemk.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemk.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 34450 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
71, 3, 6syl2anc 691 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
84, 5ltrnco 35025 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
91, 2, 7, 8syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
10 cdlemk.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11, 4, 5ltrnel 34443 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1313 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
14 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
15 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1610, 14, 11, 4, 5, 15trljat3 34473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
171, 9, 13, 16syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
18 simp3l 1082 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
1910, 11, 4, 5ltrncoval 34449 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
201, 9, 3, 18, 19syl121anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
21 coass 5571 . . . . . 6 ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹𝐹))
22 cdlemk.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐾)
2322, 4, 5ltrn1o 34428 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
241, 3, 23syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1ococnv1 6078 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2726coeq2d 5206 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
2822, 4, 5ltrn1o 34428 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
291, 2, 28syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
30 f1of 6050 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
31 fcoi1 5991 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐵𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
3327, 32eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = 𝐺)
3421, 33syl5eq 2656 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
3534fveq1d 6105 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃))
3620, 35eqtr3d 2646 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) = (𝐺𝑃))
3736oveq1d 6564 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
3817, 37eqtr2d 2645 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583   I cid 4948  ccnv 5037  cres 5040  ccom 5042  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464
This theorem is referenced by:  cdlemk5  35142  cdlemk5u  35167
  Copyright terms: Public domain W3C validator