Theorem cdlemf2 34868

Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemf1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemf1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemf1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemf2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemf2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   ∧ (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemf1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdlemf1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		cdlemf1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 34310	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
6		cdlemf1.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 6, 2, 3	cdlemf1 34867	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
8		simpr1r 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)
9		simpr32 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)
10		simpr33 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞))
11		simplrr 797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ≤ 𝑊)
12		hllat 33668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
13	12	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝐾 ∈ Lat)
14		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
15		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16	15, 2	atbase 33594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
18		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝐾 ∈ HL)
19		simpr1l 1111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
20		simpr2 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
21	15, 6, 2	hlatjcl 33671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
23	15, 3	lhpbase 34302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
24	23	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25		cdlemf2.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
26	15, 1, 25	latlem12 16901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ 𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
27	13, 17, 22, 24, 26	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ((𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ↔ 𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
28	10, 11, 27	mpbi2and 958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))
29		hlatl 33665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
30	29	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
31		simpll 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32		simpr31 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
33	1, 6, 25, 2, 3	lhpat 34347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≠ 𝑞)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
34	31, 19, 8, 20, 32, 33	syl122anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴)
35	1, 2	atcmp 33616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
36	30, 14, 34, 35	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → (𝑈 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
37	28, 36	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))
38	8, 9, 37	jca31 555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
39	38	3exp2 1277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))))
40	39	3impia 1253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))))
41	40	reximdvai 2998	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ 𝑈 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))
42	7, 41	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))
43	42	3expia 1259	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))
44	43	expd 451	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))))
45	44	reximdvai 2998	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝 ≤ 𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊))))
46	5, 45	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655  LHypclh 34288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292

This theorem is referenced by:  cdlemf  34869