Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0aa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0aa 34515
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme0aa (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)

Proof of Theorem cdleme0aa
StepHypRef Expression
1 cdleme0.u . 2 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2 simp1l 1078 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 33668 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42, 3syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
5 cdleme0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdleme0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 33594 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
873ad2ant2 1076 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐵)
95, 6atbase 33594 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1093ad2ant3 1077 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
11 cdleme0.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
125, 11latjcl 16874 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
134, 8, 10, 12syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
14 simp1r 1079 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑊𝐻)
15 cdleme0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
165, 15lhpbase 34302 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1714, 16syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑊𝐵)
18 cdleme0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
195, 18latmcl 16875 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
204, 13, 17, 19syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
211, 20syl5eqel 2692 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292
This theorem is referenced by:  cdleme1b  34531  cdleme5  34545  cdleme9  34558  cdleme11g  34570  cdleme11  34575  cdleme35fnpq  34755  cdleme42e  34785  cdlemeg46frv  34831  cdlemg2fv2  34906  cdlemg2m  34910
  Copyright terms: Public domain W3C validator