Theorem cdjreui 28675

Description: A member of the sum of disjoint subspaces has a unique decomposition. Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdjreu.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdjreu.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
cdjreui	⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem cdjreui

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdjreu.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		cdjreu.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 27559	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
4	3	biimpi 205	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
5		reeanv 3086	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
6		eqtr2 2630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
7	1	sheli 27455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
8	2	sheli 27455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
9	7, 8	anim12i 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
10	1	sheli 27455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
11	2	sheli 27455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
12	10, 11	anim12i 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
13		hvaddsub4 27319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
14	9, 12, 13	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
15	14	an4s 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
16	15	adantll 746	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦)))
17		shsubcl 27461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
18	2, 17	mp3an1 1403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))
21	19, 20	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
23		shsubcl 27461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
24	1, 23	mp3an1 1403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
26	22, 25	jctild 564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
27	26	adantll 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)))
28		elin 3758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
29		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
30	28, 29	syl5bbr 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
31	30	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
32	27, 31	sylibd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ))
33		elch0 27495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ (𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
34		hvsubeq0 27309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = 0ℎ ↔ 𝑥 = 𝑧))
35	33, 34	syl5bb 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
36	7, 10, 35	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
37	36	ad2antlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 𝑧))
38	32, 37	sylibd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦) → 𝑥 = 𝑧))
39	16, 38	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → 𝑥 = 𝑧))
40	6, 39	syl5 33	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
41	40	rexlimdvva 3020	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
42	5, 41	syl5bir 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
43	42	ralrimivva 2954	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧))
44	4, 43	anim12i 588	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
45		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
46	45	eqeq2d 2620	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
47	46	rexbidv 3034	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
48		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
49	48	eqeq2d 2620	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
50	49	cbvrexv 3148	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
51	47, 50	syl6bb 275	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
52	51	reu4 3367	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → 𝑥 = 𝑧)))
53	44, 52	sylibr 223	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898   ∩ cin 3539  (class class class)co 6549   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161  0_ℎc0v 27165   −_ℎ cmv 27166   S_ℋ csh 27169   +_ℋ cph 27172  0_ℋc0h 27176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-grpo 26731  df-ablo 26783  df-hvsub 27212  df-sh 27448  df-ch0 27494  df-shs 27551

This theorem is referenced by:  cdj3lem2  28678