MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvg 14257
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucvg.2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
caucvg.3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
caucvg.4 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
caucvg (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem caucvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
21cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
3 caucvg.1 . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 11583 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 3598 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 11261 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3577 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 caucvg.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
102eqcomi 2619 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
119, 10fmptd 6292 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
12 1rp 11712 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
1312ne0ii 3882 . . . . . . . . . 10 + ≠ ∅
14 caucvg.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
15 r19.2z 4012 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1613, 14, 15sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
17 eluzel2 11568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1817, 3eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑀 ∈ ℤ)
1918a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ))
2019rexlimiv 3009 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2120rexlimivw 3011 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥𝑀 ∈ ℤ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
233uzsup 12524 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
255sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
265sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
27 eluz 11577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2825, 26, 27syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗𝑘))
2928biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (𝑗𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)))
30 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
31 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
32 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑛) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt3i 6196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
34 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
3534, 31, 32fvmpt3i 6196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
3633, 35oveqan12rd 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗)) = ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))
3736fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3837breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4029, 39imim12d 79 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘𝑍) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4140ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍 → (𝑘𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4241com23 84 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝑘𝑍 → (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))))
4342ralimdv2 2944 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)))
4443reximia 2992 . . . . . . . . 9 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4544ralimi 2936 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
4614, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘𝑍 (𝑗𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
478, 11, 24, 46caucvgr 14254 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 )
4811, 24rlimdm 14130 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
4947, 48mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
502, 49syl5eqbr 4618 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
51 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
529, 51fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
533, 22, 52rlimclim 14125 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5450, 53mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
55 caucvg.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
563, 51climmpt 14150 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5722, 55, 56syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)))))
5854, 57mpbird 246 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))))
59 climrel 14071 . . 3 Rel ⇝
6059releldmi 5283 . 2 (𝐹 ⇝ ( ⇝𝑟 ‘(𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  cc 9813  cr 9814  1c1 9816  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  abscabs 13822  cli 14063  𝑟 crli 14064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068
This theorem is referenced by:  caucvgb  14258  cvgcmpce  14391  ulmcau  23953  dchrisumlem3  24980  rrncmslem  32801
  Copyright terms: Public domain W3C validator