Theorem bndndx 11168

Description: A bounded real sequence 𝐴(𝑘) is less than or equal to at least one of its indices. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bndndx	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem bndndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arch 11166	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘)
2		nnre 10904	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3		lelttr 10007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑘) → 𝐴 < 𝑘))
4		ltle 10005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘))
5	4	3adant2 1073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘))
6	3, 5	syld 46	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑘) → 𝐴 ≤ 𝑘))
7	6	exp5o 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))))
8	7	com3l 87	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))))
9	8	imp4b 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))
10	9	com23 84	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
11	2, 10	sylan2 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
12	11	reximdva 3000	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
13	1, 12	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘))
14		r19.35 3065	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘) ↔ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘))
15	13, 14	sylib 207	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘))
16	15	rexlimiv 3009	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898

This theorem is referenced by: (None)