MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssexps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssexps 22041
Description: Two ways to express the existence of a ball subset. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssexps ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐴   𝐷,𝑟,𝑥   𝑃,𝑟,𝑥   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem blssexps
StepHypRef Expression
1 blssps 22039 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
2 sstr 3576 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
32expcom 450 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
43reximdv 2999 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
51, 4syl5com 31 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
653expa 1257 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
76expimpd 627 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
87adantlr 747 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
98rexlimdva 3013 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
10 simpll 786 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
11 simplr 788 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃𝑋)
12 rpxr 11716 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
1312ad2antrl 760 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
14 blelrnps 22031 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
1510, 11, 13, 14syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
16 simprl 790 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
17 blcntrps 22027 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
1810, 11, 16, 17syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
19 simprr 792 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
20 eleq2 2677 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
21 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
2220, 21anbi12d 743 . . . . 5 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)))
2322rspcev 3282 . . . 4 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
2415, 18, 19, 23syl12anc 1316 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
2524rexlimdvaa 3014 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
269, 25impbid 201 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  wss 3540  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  *cxr 9952  +crp 11708  PsMetcpsmet 19551  ballcbl 19554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-psmet 19559  df-bl 19562
This theorem is referenced by:  metustbl  22181  psmetutop  22182
  Copyright terms: Public domain W3C validator