Theorem angpieqvdlem 24355

Description: Equivalence used in the proof of angpieqvd 24358. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
angpieqvdlem.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvdlem.AneB	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
angpieqvdlem.AneC	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
angpieqvdlem	⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem angpieqvdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angpieqvdlem.C	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		angpieqvdlem.B	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		angpieqvdlem.A	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	subcld 10271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
6		angpieqvdlem.AneB	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
7	4, 2, 6	subne0d 10280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
8	3, 5, 7	divcld 10680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	8	negcld 10258	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
10		1cnd 9935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11		angpieqvdlem.AneC	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
12	11	necomd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
13	1, 4, 2, 12	subneintr2d 10317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ (𝐴 − 𝐵))
14	3, 5, 7, 13	divne1d 10691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ 1)
15	8, 10, 14	negned 10268	. . 3 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ≠ -1)
16	9, 15	xov1plusxeqvd 12189	. 2 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
17	3, 5, 7	divnegd 10693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))
18	1, 2	negsubdi2d 10287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐶 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐶))
19	18	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
20	17, 19	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
21	5, 7	dividd 10678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) = 1)
22	21	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
23	5, 3, 5, 7	divsubdird 10719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
24	10, 8	negsubd 10277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))))
25	22, 23, 24	3eqtr4rd 2655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)))
26	4, 1, 2	nnncan2d 10306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) = (𝐴 − 𝐶))
27	26	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 − 𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
28	25, 27	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)))
29	20, 28	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) = (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))))
30	2, 1	subcld 10271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
31	4, 1	subcld 10271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
32	4, 1, 11	subne0d 10280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≠ 0)
33	30, 31, 5, 32, 7	divcan7d 10708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵)) / ((𝐴 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐵))) = ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)))
34	2, 1, 4, 1, 11	div2subd 10730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / (𝐴 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)))
35	29, 33, 34	3eqtrrd 2649	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))))
36	35	eleq1d 2672	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ↔ (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) / (1 + -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)))) ∈ (0(,)1)))
37	16, 36	bitr4d 270	1 ⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709  df-ioo 12050

This theorem is referenced by:  angpieqvd  24358