Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sbc4rex 36371 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
2 | 1 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . 8
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
3 | | sbc4rex 36371 |
. . . . . . . 8
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
4 | 2, 3 | bitri 263 |
. . . . . . 7
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
5 | 4 | sbcbii 3458 |
. . . . . 6
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
6 | | sbc4rex 36371 |
. . . . . 6
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
[(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
7 | 5, 6 | bitri 263 |
. . . . 5
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐿)) → ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑)) |
9 | 8 | rabbiia 3161 |
. . 3
⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} |
10 | | rexfrabdioph.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1) |
11 | | rexfrabdioph.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1) |
12 | | nn0p1nn 11209 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℕ) |
13 | 11, 12 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℕ) |
14 | 13 | peano2nnd 10914 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑀 + 1) ∈
ℕ) |
15 | 10, 14 | syl5eqel 2692 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℕ) |
16 | 15 | nnnn0d 11228 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℕ0) |
17 | 16 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → 𝐿 ∈
ℕ0) |
18 | | sbcrot5 36374 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
([(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
19 | 18 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
20 | | sbcrot5 36374 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
21 | 19, 20 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
22 | 21 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
23 | | sbcrot5 36374 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
24 | 22, 23 | bitri 263 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
25 | 24 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . 8
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑) |
26 | | reseq1 5311 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁))) |
27 | 26 | sbccomieg 36375 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑) |
28 | | fzssp1 12255 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1...𝑁) ⊆
(1...(𝑁 +
1)) |
29 | 11 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1...𝑀) =
(1...(𝑁 +
1)) |
30 | 28, 29 | sseqtr4i 3601 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...𝑁) ⊆
(1...𝑀) |
31 | | fzssp1 12255 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1...𝑀) ⊆
(1...(𝑀 +
1)) |
32 | 10 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1...𝐿) =
(1...(𝑀 +
1)) |
33 | 31, 32 | sseqtr4i 3601 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...𝑀) ⊆
(1...𝐿) |
34 | 30, 33 | sstri 3577 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(1...𝑁) ⊆
(1...𝐿) |
35 | | resabs1 5347 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((1...𝑁) ⊆
(1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁))) |
36 | | dfsbcq 3404 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
37 | 34, 35, 36 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([((𝑡 ↾
(1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑) |
38 | | fveq1 6102 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀)) |
39 | 38 | sbccomieg 36375 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑) |
40 | | elfz1end 12242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) |
41 | 13, 40 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) |
42 | 33, 41 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈ (1...𝐿)) |
43 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀)) |
44 | | dfsbcq 3404 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
45 | 42, 43, 44 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
46 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝑡 ∈ V |
47 | 46 | resex 5363 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V |
48 | | fveq1 6102 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝐿)) → (𝑎‘𝐿) = ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿)) |
49 | 48 | sbcco3g 3951 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝐿)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
50 | 47, 49 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑) |
51 | | elfz1end 12242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ (1...𝐿)) |
52 | 15, 51 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈ (1...𝐿)) |
53 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐿 ∈ (1...𝐿) → ((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿)) |
54 | | dfsbcq 3404 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) = (𝑡‘𝐿) → ([((𝑡 ↾ (1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
55 | 52, 53, 54 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝐿))‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
56 | 50, 55 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
57 | 56 | sbcbidv 3457 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
58 | 45, 57 | bitrd 267 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝐿))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
59 | 39, 58 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
60 | 59 | sbcbidv 3457 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
61 | 37, 60 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝐿)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
62 | 27, 61 | syl5bb 271 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
63 | 25, 62 | syl5bbr 273 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑)) |
64 | 63 | rabbidv 3164 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑}) |
65 | 64 | eleq1d 2672 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ({𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻))) |
66 | 65 | biimpar 501 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑡 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) |
67 | | rexfrabdioph.3 |
. . . . 5
⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1) |
68 | | rexfrabdioph.4 |
. . . . 5
⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1) |
69 | | rexfrabdioph.5 |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1) |
70 | | rexfrabdioph.6 |
. . . . 5
⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1) |
71 | 67, 68, 69, 70 | 4rexfrabdioph 36380 |
. . . 4
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝐿)) / 𝑎][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) |
72 | 17, 66, 71 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐿)) ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) |
73 | 9, 72 | syl5eqel 2692 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) |
74 | 11, 10 | 2rexfrabdioph 36378 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑎 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐿)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑎‘𝐿) / 𝑤]∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐿)) → {𝑢 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 𝜑} ∈
(Dioph‘𝑁)) |
75 | 73, 74 | syldan 486 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐻)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐻)) → {𝑢 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 𝜑} ∈
(Dioph‘𝑁)) |