Theorem 3dim1 33771

Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom 𝑃. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠,𝑞   ≤ ,𝑞,𝑟,𝑠   𝑃,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 3dim1

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		3dim0.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		3dim0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim0 33761	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
6		simpl2 1058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
7	1, 2, 3	3dimlem1 33762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
8	7	3ad2antl3 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
9	1, 2, 3	3dim1lem5 33770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
10	6, 8, 9	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
11		simp13 1086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ∈ 𝐴)
12		simp22 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
13		simp23 1089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
14	11, 12, 13	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
15	14	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
16		simpll1 1093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
17		simp21 1087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
18		simp32 1091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
19		simp33 1092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
20	17, 18, 19	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
21	20	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
22		simplr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
23		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
24	1, 2, 3	3dimlem2 33763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
25	16, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣)))
26	1, 2, 3	3dim1lem5 33770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
27	15, 25, 26	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
28	11, 17, 13	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
29	28	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
30		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
31	17, 12	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
32		simp31 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
33	32, 19	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)))
34	30, 31, 33	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
35	34	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))))
36		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≠ 𝑡)
37		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
38		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
39	1, 2, 3	3dimlem3 33765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
40	35, 36, 37, 38, 39	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
41	1, 2, 3	3dim1lem5 33770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
42	29, 40, 41	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
43	11, 17, 12	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
44	43	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
45		simpl1 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴))
46		simpl21 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑢 ∈ 𝐴)
47		simpl22 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑣 ∈ 𝐴)
48	46, 47	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
49		simpl31 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → 𝑡 ≠ 𝑢)
50		simpl32 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))
51	49, 50	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
52	45, 48, 51	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))))
54		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)))
55		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))
56	1, 2, 3	3dimlem4 33768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢)))
58	1, 2, 3	3dim1lem5 33770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ (𝑃 ∨ 𝑡) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
59	44, 57, 58	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
60	42, 59	pm2.61dan 828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
61	60	anassrs 678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
62	27, 61	pm2.61dan 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
63	10, 62	pm2.61dane 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
64	63	3exp 1256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
65	64	3expd 1276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))
66	65	3exp 1256	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐴 → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))))))
67	66	imp43 619	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))))
68	67	impd 446	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))))
69	68	rexlimdvv 3019	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴)) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
70	69	rexlimdvva 3020	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐴 ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐴 (𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ (𝑡 ∨ 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ((𝑡 ∨ 𝑢) ∨ 𝑣)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
71	5, 70	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656

This theorem is referenced by:  3dim2  33772  2dim  33774