Theorem 1stccn 21076

Description: A mapping 𝑋⟶𝑌, where 𝑋 is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence 𝑓(𝑛) converging to 𝑥, its image under 𝐹 converges to 𝐹(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1stccnp.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
1stccnp.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1stccnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
1stccn.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Assertion

Ref	Expression
1stccn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥

Proof of Theorem 1stccn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stccnp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		1stccnp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3		cncnp 20894	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
4	1, 2, 3	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
5		1stccn.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
6	5	biantrurd 528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
7	4, 6	bitr4d 270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)))
8		1stccnp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
10	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
11	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
12		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13	9, 10, 11, 12	1stccnp 21075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
14	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
15	14	biantrurd 528	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
16	13, 15	bitr4d 270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
17	16	ralbidva 2968	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
18		ralcom4 3197	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))
19		impexp 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
20	19	ralbii 2963	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
21		r19.21v 2943	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
22	20, 21	bitri 263	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
23		df-ral 2901	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
24		lmcl 20911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
25	1, 24	sylan 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑋)
26	25	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑋))
27	26	pm4.71rd 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)))
28	27	imbi1d 330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
29		impexp 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
30	28, 29	syl6rbb 276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
31	30	albidv 1836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
32	23, 31	syl5bb 271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))))
33	32	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥))) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
34	22, 33	syl5bb 271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
35	34	albidv 1836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
36	18, 35	syl5bb 271	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))
37	7, 17, 36	3bitrd 293	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐹‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∀wal 1473   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕcn 10897  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   CnP ccnp 20839  ⇝_𝑡clm 20840  1^st𝜔c1stc 21050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-topgen 15927  df-top 20521  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-1stc 21052

This theorem is referenced by:  metcn4  22917