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Theorem zorn2g 8014
Description: Zorn's Lemma of [Monk1] p. 117. This version of zorn2 8017 avoids the Axiom of Choice by assuming that  A is well-orderable. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zorn2g  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. w ( ( w 
C_  A  /\  R  Or  w )  ->  E. x  e.  A  A. z  e.  w  ( z R x  \/  z  =  x ) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, R    x, A, y, z, w

Proof of Theorem zorn2g
StepHypRef Expression
1 breq1 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  k  ->  (
g q n  <->  k q
n ) )
21notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  k  ->  ( -.  g q n  <->  -.  k
q n ) )
32cbvralv 2708 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q n )
4 breq2 3924 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
k q n  <->  k q
m ) )
54notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( -.  k q n  <->  -.  k
q m ) )
65ralbidv 2527 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m ) )
73, 6syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m ) )
87cbvriotav 6202 . . . . 5  |-  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n )  =  (
iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m )
9 rneq 4811 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  d  ->  ran  h  =  ran  d )
109raleqdv 2694 . . . . . . 7  |-  ( h  =  d  ->  ( A. q  e.  ran  h  q R v  <->  A. q  e.  ran  d  q R v ) )
1110rabbidv 2719 . . . . . 6  |-  ( h  =  d  ->  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  =  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } )
1211raleqdv 2694 . . . . . 6  |-  ( h  =  d  ->  ( A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m  <->  A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
1311, 12riotaeqbidv 6193 . . . . 5  |-  ( h  =  d  ->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  k q m )  =  ( iota_ m  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
148, 13syl5eq 2297 . . . 4  |-  ( h  =  d  ->  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n )  =  ( iota_ m  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
1514cbvmptv 4008 . . 3  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) )  =  ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )
16 recseq 6275 . . 3  |-  ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) )  =  ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) )  -> recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )  = recs ( ( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) ) ) )
1715, 16ax-mp 10 . 2  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ n  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e.  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )  = recs (
( d  e.  _V  |->  ( iota_ m  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v } A. k  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  -.  k q m ) ) )
18 breq1 3923 . . . . 5  |-  ( q  =  s  ->  (
q R v  <->  s R
v ) )
1918cbvralv 2708 . . . 4  |-  ( A. q  e.  ran  d  q R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R v )
20 breq2 3924 . . . . 5  |-  ( v  =  r  ->  (
s R v  <->  s R
r ) )
2120ralbidv 2527 . . . 4  |-  ( v  =  r  ->  ( A. s  e.  ran  d  s R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R r ) )
2219, 21syl5bb 250 . . 3  |-  ( v  =  r  ->  ( A. q  e.  ran  d  q R v  <->  A. s  e.  ran  d  s R r ) )
2322cbvrabv 2726 . 2  |-  { v  e.  A  |  A. q  e.  ran  d  q R v }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  ran  d  s R r }
24 eqid 2253 . 2  |-  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" u ) s R r }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" u ) s R r }
25 eqid 2253 . 2  |-  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs (
( h  e.  _V  |->  ( iota_ n  e.  {
v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" t ) s R r }  =  { r  e.  A  |  A. s  e.  (recs ( ( h  e. 
_V  |->  ( iota_ n  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v } A. g  e. 
{ v  e.  A  |  A. q  e.  ran  h  q R v }  -.  g q n ) ) )
" t ) s R r }
2617, 23, 24, 25zorn2lem7 8013 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. w ( ( w 
C_  A  /\  R  Or  w )  ->  E. x  e.  A  A. z  e.  w  ( z R x  \/  z  =  x ) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    Po wpo 4205    Or wor 4206   dom cdm 4580   ran crn 4581   "cima 4583   iota_crio 6181  recscrecs 6273   cardccrd 7452
This theorem is referenced by:  zorng  8015  zorn2  8017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-en 6750  df-card 7456
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