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Theorem zfinf2 7227
Description: A standard version of the Axiom of Infinity, using definitions to abbreviate. Axiom Inf of [BellMachover] p. 472. (See ax-inf2 7226 for the unabbreviated version.) (Contributed by NM, 30-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
zfinf2  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem zfinf2
StepHypRef Expression
1 ax-inf2 7226 . 2  |-  E. x
( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  x  ->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
2 0el 3378 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y )
3 df-rex 2514 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  -.  z  e.  y  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
) )
42, 3bitri 242 . . . 4  |-  ( (/)  e.  x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y ) )
5 sucel 4358 . . . . . . 7  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z  e.  x  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )
6 df-rex 2514 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) )  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
75, 6bitri 242 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  x  <->  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
87ralbii 2531 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y  e.  x  E. z
( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) )
9 df-ral 2513 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  E. z ( z  e.  x  /\  A. w
( w  e.  z  <-> 
( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
108, 9bitri 242 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  suc  y  e.  x  <->  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) )
114, 10anbi12i 681 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )  <->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y )  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
1211exbii 1580 . 2  |-  ( E. x ( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x
)  <->  E. x ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z  -.  z  e.  y
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  E. z ( z  e.  x  /\  A. w ( w  e.  z  <->  ( w  e.  y  \/  w  =  y ) ) ) ) ) )
131, 12mpbir 202 1  |-  E. x
( (/)  e.  x  /\  A. y  e.  x  suc  y  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   (/)c0 3362   suc csuc 4287
This theorem is referenced by:  omex  7228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-nul 3363  df-sn 3550  df-suc 4291
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