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Theorem xpdom2 6842
Description: Dominance law for cross product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xpdom.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpdom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )

Proof of Theorem xpdom2
StepHypRef Expression
1 brdomi 6759 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
2 f1f 5294 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
3 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> B  /\  U.
ran  {  x }  e.  A )  ->  (
f `  U. ran  {  x } )  e.  B
)
43ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
( U. ran  {  x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  {  x } )  e.  B ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( U. ran  {  x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  {  x } )  e.  B ) )
65anim2d 550 . . . . . . . 8  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  U. ran  {  x }  e.  A )  ->  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  {  x } )  e.  B ) ) )
76adantld 455 . . . . . . 7  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  = 
<. U. dom  {  x } ,  U. ran  {  x } >.  /\  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  U. ran  {  x }  e.  A
) )  ->  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  (
f `  U. ran  {  x } )  e.  B
) ) )
8 elxp4 5066 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  ( x  =  <. U. dom  {  x } ,  U. ran  {  x } >.  /\  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  U. ran  {  x }  e.  A
) ) )
9 opelxp 4626 . . . . . . 7  |-  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  e.  ( C  X.  B )  <->  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  {  x }
)  e.  B ) )
107, 8, 93imtr4g 263 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
1110adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
12 elxp2 4614 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >. )
13 elxp2 4614 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( C  X.  A )  <->  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )
14 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
15 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f `
 w )  e. 
_V
1614, 15opth 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. 
<->  ( z  =  v  /\  ( f `  w )  =  ( f `  u ) ) )
17 f1fveq 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
( f `  w
)  =  ( f `
 u )  <->  w  =  u ) )
1817ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( f `  w )  =  ( f `  u )  <-> 
w  =  u ) )
1918anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( z  =  v  /\  ( f `
 w )  =  ( f `  u
) )  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2016, 19syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2120ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2221ad2ant2l 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  C  /\  u  e.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2322imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2423adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
25 sneq 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  { x }  =  { <. z ,  w >. } )
2625dmeqd 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  dom  {  x }  =  dom  { <. z ,  w >. } )
2726unieqd 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  {  x }  =  U. dom  { <. z ,  w >. } )
28 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
2914, 28op1sta 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. dom  {
<. z ,  w >. }  =  z
3027, 29syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  {  x }  =  z )
3125rneqd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ran  {  x }  =  ran  { <. z ,  w >. } )
3231unieqd 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  {  x }  =  U. ran  { <. z ,  w >. } )
3314, 28op2nda 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ran  {
<. z ,  w >. }  =  w
3432, 33syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  {  x }  =  w )
3534fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( f `  U. ran  {  x }
)  =  ( f `
 w ) )
3630, 35opeq12d 3704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. z ,  ( f `  w ) >. )
37 sneq 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  { y }  =  { <. v ,  u >. } )
3837dmeqd 4788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  dom  {  y }  =  dom  { <. v ,  u >. } )
3938unieqd 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  {  y }  =  U. dom  { <. v ,  u >. } )
40 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
41 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  u  e. 
_V
4240, 41op1sta 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. dom  {
<. v ,  u >. }  =  v
4339, 42syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  {  y }  =  v )
4437rneqd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ran  {  y }  =  ran  { <. v ,  u >. } )
4544unieqd 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  {  y }  =  U. ran  { <. v ,  u >. } )
4640, 41op2nda 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ran  {
<. v ,  u >. }  =  u
4745, 46syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  {  y }  =  u )
4847fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f `  U. ran  {  y } )  =  ( f `
 u ) )
4943, 48opeq12d 3704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >. )
5036, 49eqeqan12d 2268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( <. U.
dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. ) )
5150ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. ) )
52 eqeq12 2265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  <. z ,  w >.  =  <. v ,  u >. ) )
5314, 28opth 4138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. v ,  u >.  <->  (
z  =  v  /\  w  =  u )
)
5452, 53syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5554ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  =  y  <-> 
( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5624, 51, 553bitr4d 278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) )
5756exp53 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5857com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  (
( v  e.  C  /\  u  e.  A
)  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5958rexlimivv 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  -> 
( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) ) ) ) )
6059rexlimdvv 2635 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >.  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) )
6160imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  /\  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6212, 13, 61syl2anb 467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( C  X.  A )  /\  y  e.  ( C  X.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6362com12 29 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) ) )
6463adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) ) )
65 xpdom.2 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
66 reldom 6755 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
6766brrelexi 4636 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
68 xpexg 4707 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( C  X.  A
)  e.  _V )
6965, 67, 68sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  e.  _V )
7069adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  e.  _V )
7166brrelex2i 4637 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
72 xpexg 4707 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  X.  B
)  e.  _V )
7365, 71, 72sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  B )  e.  _V )
7473adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  B
)  e.  _V )
7511, 64, 70, 74dom3d 6789 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  ~<_  ( C  X.  B ) )
7675ex 425 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) ) )
7776exlimdv 1932 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) ) )
781, 77mpd 16 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   _Vcvv 2727   {csn 3544   <.cop 3547   U.cuni 3727   class class class wbr 3920    X. cxp 4578   dom cdm 4580   ran crn 4581   -->wf 4588   -1-1->wf1 4589   ` cfv 4592    ~<_ cdom 6747
This theorem is referenced by:  xpdom2g  6843  infxpenlem  7525  cfpwsdom  8086  inar1  8277  rexpen  12380  2ndcctbss  17013  tx1stc  17176  tx2ndc  17177  met2ndci  17900  mbfimaopnlem  18842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fv 4608  df-dom 6751
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