MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetpsmet Unicode version

Theorem xmetpsmet 18331
Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xmetpsmet  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)

Proof of Theorem xmetpsmet
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetf 18312 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 xmet0 18325 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x D x )  =  0 )
3 3anrot 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)
4 xmettri2 18323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
53, 4sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) )
653anassrs 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )
76ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )
87ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) + e
( z D y ) ) )
92, 8jca 519 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )
109ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )
111, 10jca 519 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  (
( x D x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )
12 elfvex 5717 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  _V )
13 ispsmet 18288 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
1511, 14mpbird 224 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   RR*cxr 9075    <_ cle 9077   + ecxad 10664  PsMetcpsmet 16640   * Metcxmt 16641
This theorem is referenced by:  blfval  18367  metustblOLD  18563  metutopOLD  18565  xmetutop  18567  xmsusp  18569  metucnOLD  18571  cfilucfil3  19225  cmetcusp  19261  cnflduss  19263  reust  24297  qqhucn  24329  rrhre  24340  sitmcl  24616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-xr 9080  df-psmet 16649  df-xmet 16650
  Copyright terms: Public domain W3C validator