Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthlem1 Unicode version

Theorem wilthlem1 20138
 Description: The only elements that are equal to their own inverses in the multiplicative group of nonzero elements in are and . (Note that from prmdiveq 12728, is the modular inverse of in . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
wilthlem1

Proof of Theorem wilthlem1
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10676 . . . . . . . . . 10
21adantl 454 . . . . . . . . 9
3 peano2zm 9941 . . . . . . . . 9
42, 3syl 17 . . . . . . . 8
54zcnd 9997 . . . . . . 7
62peano2zd 9999 . . . . . . . 8
76zcnd 9997 . . . . . . 7
85, 7mulcomd 8736 . . . . . 6
92zcnd 9997 . . . . . . 7
10 ax-1cn 8675 . . . . . . 7
11 subsq 11088 . . . . . . 7
129, 10, 11sylancl 646 . . . . . 6
139sqvald 11120 . . . . . . 7
14 sq1 11076 . . . . . . . 8
1514a1i 12 . . . . . . 7
1613, 15oveq12d 5728 . . . . . 6
178, 12, 163eqtr2d 2291 . . . . 5
1817breq2d 3932 . . . 4
19 1e0p1 10031 . . . . . . . 8
2019oveq1i 5720 . . . . . . 7
21 0z 9914 . . . . . . . 8
22 fzp1ss 10715 . . . . . . . 8
2321, 22ax-mp 10 . . . . . . 7
2420, 23eqsstri 3129 . . . . . 6
25 simpr 449 . . . . . 6
2624, 25sseldi 3101 . . . . 5
2726biantrurd 496 . . . 4
2818, 27bitrd 246 . . 3
29 simpl 445 . . . 4
30 euclemma 12661 . . . 4
3129, 4, 6, 30syl3anc 1187 . . 3
32 prmnn 12636 . . . . 5
33 fzm1ndvds 12454 . . . . 5
3432, 33sylan 459 . . . 4
35 eqid 2253 . . . . 5
3635prmdiveq 12728 . . . 4
3729, 2, 34, 36syl3anc 1187 . . 3
3828, 31, 373bitr3rd 277 . 2
3929, 32syl 17 . . . . 5
40 1z 9932 . . . . . 6
4140a1i 12 . . . . 5
42 moddvds 12412 . . . . 5
4339, 2, 41, 42syl3anc 1187 . . . 4
44 elfznn 10697 . . . . . . . 8
4544adantl 454 . . . . . . 7
4645nnred 9641 . . . . . 6
4739nnrpd 10268 . . . . . 6
4845nnnn0d 9897 . . . . . . 7
4948nn0ge0d 9900 . . . . . 6
50 elfzle2 10678 . . . . . . . 8
5150adantl 454 . . . . . . 7
52 prmz 12635 . . . . . . . 8
53 zltlem1 9949 . . . . . . . 8
541, 52, 53syl2anr 466 . . . . . . 7
5551, 54mpbird 225 . . . . . 6
56 modid 10871 . . . . . 6
5746, 47, 49, 55, 56syl22anc 1188 . . . . 5
5839nnred 9641 . . . . . 6
59 prmuz2 12650 . . . . . . . 8
6029, 59syl 17 . . . . . . 7
61 eluz2b2 10169 . . . . . . . 8
6261simprbi 452 . . . . . . 7
6360, 62syl 17 . . . . . 6
64 1mod 10874 . . . . . 6
6558, 63, 64syl2anc 645 . . . . 5
6657, 65eqeq12d 2267 . . . 4
6743, 66bitr3d 248 . . 3
6841znegcld 9998 . . . . 5
69 moddvds 12412 . . . . 5
7039, 2, 68, 69syl3anc 1187 . . . 4
7139nncnd 9642 . . . . . . . . . 10
7271mulid2d 8733 . . . . . . . . 9
7372oveq2d 5726 . . . . . . . 8
74 neg1cn 9693 . . . . . . . . 9
75 addcom 8878 . . . . . . . . 9
7674, 71, 75sylancr 647 . . . . . . . 8
77 negsub 8975 . . . . . . . . 9
7871, 10, 77sylancl 646 . . . . . . . 8
7973, 76, 783eqtrd 2289 . . . . . . 7
8079oveq1d 5725 . . . . . 6
81 1re 8717 . . . . . . . . 9
8281renegcli 8988 . . . . . . . 8
8382a1i 12 . . . . . . 7
84 modcyc 10877 . . . . . . 7
8583, 47, 41, 84syl3anc 1187 . . . . . 6
86 peano2rem 8993 . . . . . . . 8
8758, 86syl 17 . . . . . . 7
88 nnm1nn0 9884 . . . . . . . . 9
8939, 88syl 17 . . . . . . . 8
9089nn0ge0d 9900 . . . . . . 7
9158ltm1d 9569 . . . . . . 7
92 modid 10871 . . . . . . 7
9387, 47, 90, 91, 92syl22anc 1188 . . . . . 6
9480, 85, 933eqtr3d 2293 . . . . 5
9557, 94eqeq12d 2267 . . . 4
96 subneg 8976 . . . . . 6
979, 10, 96sylancl 646 . . . . 5
9897breq2d 3932 . . . 4
9970, 95, 983bitr3rd 277 . . 3
10067, 99orbi12d 693 . 2
10138, 100bitrd 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wss 3078   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cmin 8917  cneg 8918  cn 9626  c2 9675  cn0 9844  cz 9903  cuz 10109  crp 10233  cfz 10660   cmo 10851  cexp 10982   cdivides 12405  cprime 12632 This theorem is referenced by:  wilthlem2  20139 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-phi 12708
 Copyright terms: Public domain W3C validator