Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilth Unicode version

Theorem wilth 20141
 Description: Wilson's theorem. A number is prime iff it is greater or equal to and is congruent to , , or alternatively if divides . In this part of the proof we show the relatively simple reverse implication; see wilthlem3 20140 for the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
wilth

Proof of Theorem wilth
StepHypRef Expression
1 prmuz2 12650 . . 3
2 eqid 2253 . . . 4 mulGrpfld mulGrpfld
3 eleq2 2314 . . . . . 6
4 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10
54oveq1d 5725 . . . . . . . . 9
65eleq1d 2319 . . . . . . . 8
76cbvralv 2708 . . . . . . 7
8 eleq2 2314 . . . . . . . 8
98raleqbi1dv 2696 . . . . . . 7
107, 9syl5bb 250 . . . . . 6
113, 10anbi12d 694 . . . . 5
1211cbvrabv 2726 . . . 4
132, 12wilthlem3 20140 . . 3
141, 13jca 520 . 2
15 simpl 445 . . 3
16 elfzuz 10672 . . . . . . . . 9
1716adantl 454 . . . . . . . 8
18 eluz2b2 10169 . . . . . . . . 9
1918simplbi 448 . . . . . . . 8
2017, 19syl 17 . . . . . . 7
21 elfzuz3 10673 . . . . . . . 8
2221adantl 454 . . . . . . 7
23 dvdsfac 12457 . . . . . . 7
2420, 22, 23syl2anc 645 . . . . . 6
25 eluz2b2 10169 . . . . . . . . . . 11
2625simplbi 448 . . . . . . . . . 10
2726ad2antrr 709 . . . . . . . . 9
28 nnm1nn0 9884 . . . . . . . . 9
29 faccl 11176 . . . . . . . . 9
3027, 28, 293syl 20 . . . . . . . 8
3130nnzd 9995 . . . . . . 7
3218simprbi 452 . . . . . . . 8
3317, 32syl 17 . . . . . . 7
34 ndvdsp1 12482 . . . . . . 7
3531, 20, 33, 34syl3anc 1187 . . . . . 6
3624, 35mpd 16 . . . . 5
37 simplr 734 . . . . . 6
3820nnzd 9995 . . . . . . 7
3927nnzd 9995 . . . . . . 7
4031peano2zd 9999 . . . . . . 7
41 dvdstr 12436 . . . . . . 7
4238, 39, 40, 41syl3anc 1187 . . . . . 6
4337, 42mpan2d 658 . . . . 5
4436, 43mtod 170 . . . 4
4544ralrimiva 2588 . . 3
46 isprm3 12641 . . 3
4715, 45, 46sylanbrc 648 . 2
4814, 47impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  crab 2512  cpw 3530   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  c1 8618   caddc 8620   clt 8747   cmin 8917  cn 9626  c2 9675  cn0 9844  cz 9903  cuz 10109  cfz 10660   cmo 10851  cexp 10982  cfa 11166   cdivides 12405  cprime 12632  mulGrpcmgp 15160  ℂfldccnfld 16209 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-phi 12708  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-subrg 15378  df-cnfld 16210
 Copyright terms: Public domain W3C validator