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Theorem wefrc 4387
Description: A non-empty (possibly proper) subclass of a class well-ordered by  _E has a minimal element. Special case of Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
wefrc  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem wefrc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wess 4380 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (  _E  We  A  ->  _E  We  B ) )
2 n0 3464 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
3 ineq2 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( B  i^i  y
) )
43eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( B  i^i  y )  =  (/) ) )
54rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( B  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
65ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
76adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
8 inss1 3389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  C_  B
9 wefr 4383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _E  We  B  ->  _E  Fr  B )
10 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1110inex2 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  i^i  y )  e. 
_V
1211epfrc 4379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
139, 12syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
14133exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  C_  B  ->  ( ( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
158, 14mpi 16 . . . . . . . . . 10  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
16 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  i^i  y )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  y ) )
1716anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
18 anass 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y
)  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  B  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
1917, 18bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  B  /\  (
x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
2019rexbii2 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
2115, 20syl6ib 217 . . . . . . . . 9  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
23 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( B  i^i  x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  x ) )
24 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B ) )
25 3anrot 939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )
)
2624, 25bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
27 wetrep 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  x  e.  y
)  ->  z  e.  y ) )
2827exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
2926, 28sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  B ) )  -> 
( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
3029exp44 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  -> 
( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) ) )
3130imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3231com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3332imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  e.  B  /\  z  e.  x )  ->  (
x  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3423, 33syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3534imp4a 572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  y ) ) )
3635com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
z  e.  ( B  i^i  x )  -> 
z  e.  y ) ) )
3736ralrimdv 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y ) )
38 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y )
3937, 38syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  ( B  i^i  x )  C_  y ) )
40 dfss 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x
)  i^i  y )
)
41 in32 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)
4241eqeq2i 2293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )
)
4340, 42bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )
)
4443biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
) )
4544eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
4645biimprd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
4739, 46syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
4847exp3a 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) ) )
4948imp4a 572 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
5049reximdvai 2653 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
5122, 50syld 40 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
527, 51pm2.61dne 2523 . . . . . 6  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
5352ex 423 . . . . 5  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
5453exlimdv 1664 . . . 4  |-  (  _E  We  B  ->  ( E. y  y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
552, 54syl5bi 208 . . 3  |-  (  _E  We  B  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
561, 55syl6com 31 . 2  |-  (  _E  We  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
57563imp 1145 1  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455    _E cep 4303    Fr wfr 4349    We wwe 4351
This theorem is referenced by:  tz7.5  4413  onnseq  6361  finminlem  26231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354
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